Оценка устойчивости САР по корням характеристического уравнения системы

Корни характеристического уравнения системы (рис. 2.14) могут быть вещественными (корень S₁), комплексно - сопряженными (S₂ ,S₃ ,S₇ ,S₈), мнимыми (S₅ ,S₆). То есть, корни на комплексной плоскости могут располагаться: в левой,правой полуплоскости, либо на оси ординат и, соответственно, будут левыми, правыми либо нулевыми.

Система будет устойчива, если переходный процесс при стремится к установившемуся значению X =X_уст.А это значит, что показатель экспоненты уравнения должен быть отрицательным, то есть все корни характеристического уравнения системы должны быть отрицательными и располагаться в левой полуплоскости (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Расположение S_i корней характеристического уравнения

Таким образом, чтобы САР была устойчивой необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения системы были левыми.

Если среди корней характеристического уравнения системы есть хотя бы один правый, а остальные левые, то САР является неустойчивой.

Если среди корней характеристического уравнения системы есть хотя бы один нулевой, а остальные левые, то САР является нейтральной, то есть находится на границе устойчивости.

Пример 2.7. Оценить устойчивость по корням характеристического уравнения САР частоты вращения ДПТ.

Решение.

Воспользуемся характеристическим уравнением системы

Приведем уравнение к удобному виду:

Зададим параметры системы: ;

=0,7с.; К_эу =15; К_сд =0,6; К_р =0,2; К_г1 =8; К_д1 =8,5; К_тг =0,15; К_ос =0,5.

Рассчитаем коэффициенты характеристического уравнения системы:

0,0007;

0,1 0,043;

0,41;

1,3;

.

Используя программный продукт MatLab, получим значения корней характеристического уравнения системы

>> W=tf([12.24],[0.0007 0.043 0.41 1.3 13.24])

Transfer function:

12.24

-------------------------------------------------

0.0007 s^4 + 0.043 s^3 + 0.41 s^2 + 1.3 s + 13.24

>> pole(W)

ans =

-50.3881

-11.3604

0.1600 + 5.7460i

0.1600 - 5.7460i

Данный критерий является частотным, и для оценки устойчивости САР необходимо получить уравнение кривой Михайлова. Для этого воспользуемся характеристическим уравнением замкнутой системы.

Переходя в частотный диапазон, заменяя , выделяя вещественную и мнимую составляющие, получим уравнение кривой Михайлова.

где вещественная и мнимая составляющие уравнения кривой Михайлова.

Задавая частотный диапазон, строиться по уравнению в комплексной плоскости кривая Михайлова (см. рис. 2.15).

Рис. 2.15. Кривые Михайлова, построенные для n =1, n =2, n =3, n =4

Для того, чтобы САР была устойчивой необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

- при годограф кривой Михайлова должен начинаться на положительной вещественной оси;

- при изменении частоты до годограф кривой Михайлова должен:

- поочередно;

- нигде не обращаясь в ноль;

- в положительном (против часовой стрелки) направлении;

- пройти n квадрантов. Где n – старшая степень полинома знаменателя.

Если годограф кривой Михайлова при конкретной частоте, не равной нулю, проходит через начало координат, то система является нейтральной.

При невыполнении хотя бы одного из сформулированных условий система является неустойчивой.

Пример 2.8. Оценить устойчивость САР частоты вращения ДПТ, используя критерий Михайлова.

Решение.

Воспользуемся характеристическим уравнением и параметрами системы примера 2.7.

A(s)=0,0007 +0,043 +0,41 +1,3 +13,24.

Перейдем в частотный диапазон, заменив , выделим вещественную и мнимую составляющие, получим уравнение кривойМихайлова.

D()=0,0007 +0,043 +0,41 +1,3 +13,24=

= 0,0007 – 0,358 – 0,05 + 1,3 +13,24=

=(0,0007 – 0,05 +13,24) – (0,358 – 1,3 ).

Задавая частотный диапазон от 0 до 6,5, используя ППП MathCad, строим

Кривую Михайлова. Результаты вычислений приведены на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Кривая Михайлова при изменении от 0 до 6

Рис. 2.17. Кривая Михайлова при изменении от 0 до 10

Вывод: условия выполняются:

- при годограф кривой Михайлова начинается на положительной вещественной оси D (0)=13,24;

- в 4 квадранте (порядок системы равен 4) годограф кривой Михайлова заканчивается;

- годограф кривой Михайлова проходит в положительном направлении 4 квадранта;

- условие не выполняется:

- нарушается порядок следования квадрантов: 1, 4, 3, 4 квадранты. Следовательно, САР частоты вращения ДПТ, с данными параметрами является неустойчивой.

2.8 Оценка устойчивости САР с помощью критерия Найквиста

I. Подход. Система в разомкнутом состоянии устойчивая.

Если система в разомкнутом состоянии устойчивая, то для того, что бы она была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывал точку с координатами [-1; j0].

Если годограф АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами [-1; j0], то система в замкнутом состоянии является не устойчивой.

И, если годограф АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами [-1; j0], то система в замкнутом состоянии является нейтральной, то есть находится на границе устойчивости.

На рис. 2.18 для годографа 1 САУ в замкнутом состоянии является устойчивой, для 2 – нейтральной, для 3 – неустойчивой.

Рис. 2.18.Годографы АФЧХ разомкнутой системы

II. Подход. Система в разомкнутом состоянии является неустойчивой или нейтральной.

В данном случае, в характеристическом уравнении разомкнутой системы среди левых корней имеется хотя бы один правый корень или нулевой.

Если система в разомкнутом состоянии является неустойчивой или нейтрально, то для того, что бы она была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы охватывал точку с координатами [-1; j0] в положительном направлении К /2 раз, где К – количество правых или левых корней.

На рис. 2.19 изображен годограф АФЧХнеустойчивойразомкнутой системы, которая имеетодин правый корень.

Рис. 2.19. Годограф АФЧХ разомкнутой системы при К=1