Задача № 7

1. Найдите экстремумы функции двух переменных.

2. Исследуйте функцию на условный экстремум методом подстановки и методом Лагранжа.

1. 1) , 2) , .	2. 1) , 2) , .
3. 1) , 2) , .	4. 1) , 2) , .
5. 1) , 2) , .	6. 1) , 2) , .
7. 1) , 2) , .	8. 1) , 2) , .
9. 1) , 2) , .	10. 1) , 2) , .

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ

1. Числовые множества. Основные способы задания их. Отношения между множествами. Непрерывность R. Расширенное множество вещественных чисел. Интервалы.

2. Операции над множествами и их свойства.

3. Понятие об операторе (отображении). Функция как частный случай оператора. Область определения и множество значений функций. График функции. Образы и прообразы точек при отображении. Сужение функции и его график.

4. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

5. Определение предела функции в точке и на бесконечности по Коши. Графические иллюстрации.

6. Бесконечно малые функции. Асимптотическое представление функции, имеющей конечный предел. Арифметические свойства пределов.

7. Бесконечные пределы функции. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

8. Односторонние пределы функции, конечные и бесконечные.

9. Определения непрерывности в точке.

10. Эквивалентные бесконечно малые функции.

11. Классификация точек разрыва.

12. Непрерывность элементарных функций.

13. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

14. Определение производной функции в точке.

15. Геометрический смысл производной.

16. Уравнение касательной.

17. Дифференцируемые функции: определение и примеры. Критерий дифференцируемости.

18. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

19. Односторонняя и бесконечная производная.

20. Классификация положений касательных.

21. Дифференцирование суммы функций.

22. Дифференцирование произведения функций.

23. Дифференцирование частного функций.

24. Дифференцирование сложной функции.

25. Дифференцирование обратной функции.

26. Дифференцирование элементарных функций.

27. Логарифмическое дифференцирование.

28. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

29. Дифференцирование функций, заданных неявно.

30. Производные высших порядков.

31. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

32. Формула Тейлора.

33. Теорема Ферма.

34. Теорема Ролля.

35. Теорема Лагранжа.

36. Теорема Коши.

37. Правило Лопиталя.

38. Критерий постоянства дифференцируемой функции.

39. Критерий монотонности дифференцируемой функции.

40. Исследование функции на экстремумы.

41. Асимптоты графика функции.

42. Выпуклость функции. Точки перегиба.

43. Схема исследования функции с помощью производной.

44. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

45. Первообразная и ее простейшие свойства.

46. Неопределенный интеграл: определение и основные свойства.

47. Табличное интегрирование.

48. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

49. Метод интегрирования по частям.

50. Простейшие дроби первого и второго типа и их интегрирование.

51. Простейшие дроби третьего типа и их интегрирование.

52. Простейшие дроби четвертого типа.

53. Интегрирование правильных рациональных дробей.

54. Интегрирование иррациональных выражений.

55. Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная подстановка.

56. Определение определенного интеграла.

57. Свойства определенного интеграла.

58. Теорема о среднем для определенного интеграла. Случай непрерывной подынтегральной функции.

59. Формула Ньютона-Лейбница. Метод замены переменной и интегрирование по частям для определенного интеграла.

60. Понятие несобственных интегралов 1-го и 2-го рода.

61. Сходящийся числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости.

62. Геометрический ряд, определение и условие сходимости.

63. Признаки сравнения.

64. Признак Даламбера.

65. Интегральный признак сходимости. Гармонический ряд и ряд Дирихле.

66. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимости ряда. Признак Лейбница.

67. Функциональный ряд и его сумма.

68. Степенной ряд. Теорема Абеля.

69. Область сходимости степенного ряда.

70. Разложение функции в степенной ряд.

71. Понятие функции двух переменных: определение, способы задания, график.

72. Частные производные: определение, геометрический смысл, правила нахождения.

73. Частные дифференциалы: определение, геометрический смысл, правила нахождения.

74. Полный дифференциал: определение, геометрический смысл, способ нахождения с помощью частных производных.

75. Производная по направлению. Градиент.

76. Локальный экстремум функции двух переменных: определение, необходимое, достаточные условия.