Поняття бінарного відношення

Найпростіша ситуація, яка дозволяє зробити обґрунтований вибір з декількох об’єктів, виникає, коли подано один “критерій якості”, що дозволяє порівнювати будь-які два об'єкти, чітко вказати, який з них краще, й вибрати той (або ті) для якого цей критерій досягає максимального значення. Однак, в більшості реальних ситуацій, визначити один такий критерій доволі складно i взагалі не завжди можливо. Але для деяких пар об’єктів можна вказати, який з об’єктів пари краще. У таких випадках кажуть, що ці два об'єкти знаходяться у бінарному відношенні. Поняття бінарного відношення дозволяє формалізувати операції попарного порівняння i тому широко використовується у теорії прийняття рішень.

Розглянемо деякі висловлювання, що виражають взаємозв’язки між об’єктами.

1. “Тетяна старша за Ігоря“.

2. ”Фірми А та В збиткові”.

3. “Київ південніше Москви”.

4. “Іван брат Петра”.

5. “Залізо важче за воду”.

Ці висловлювання виражають відношення різного типу:

Друге та четверте говорять про те, що два об’єкти відносяться до одного класу; перше, третє та п’яте – виражають порядок об’єктів у системі. У всіх п’яти прикладах чітко виділені назви об’єктів та назви відношень.

Легко помітити, що якщо замість однієї назви об’єкта поставити іншу, можливі такі ситуації:

1) відношення знов буде виконано “Київ південніше Мурманська”;

2) відношення не буде виконуватися (Київ південніше Дніпропетровська);

3) відношення не буде мати сенсу (“Залізо південніше за воду”).

Тобто, говорити про відношення ми можемо лише тоді, коли ми вміємо виділяти множину об’єктів, на якій це відношення визначено. Математично визначення відношення можна сформулювати таким чином.

О з н а ч е н н я 2.1. Відношенням R на множині W називається підмножина множини , тобто

Задавання підмножини R в множині визначає які пари знаходяться у відношенні R. Будемо позначати відношення R на множині W таким чином: Якщо елементи x та y множини W знаходяться у відношенні R, то це можна записати таким чином: або .