Уточнение решения методом итераций

Оценить ошибки, связанные с округлением, а также уменьшить их можно с помощью простой, но эффективной итерационной процедуры.

Обозначим через найденное методом Гаусса, или любым другим методом приближенное решение СЛАУ (11.1). Подставив это решение в левую часть уравнения (11.1) получим

(11.7)

Очевидно, что если значения сильно отличаются от b ₁, b ₂,… b _n, то найденное решение содержит большую ошибку. Однако, даже если все близки к b _i, это не значит, что ошибка в найденном решении мала. Например, рассмотрим следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными

Эта система имеет единственное решение x=1, y=1. Попробуем теперь подставить в рассматриваемую систему значения неизвестных x=2.12, y=0. После подстановки получим

Как видим, совершенно далекие от точного решения системы значения неизвестных дают практически одинаковые с точным решением правые части этих двух систем. В данном случае мы имеем дело с так называемой плохо обусловленной системой. В случае системы двух уравнений с двумя неизвестными это связано с тем, что прямые, описываемые уравнениями системы почти параллельны и точка x =2.12, y =0 хотя и не лежит на этих прямых, но очень близка к каждой из них. Таким образом, близость правых частей системы, получаемых после подстановки найденного решения, к исходной не является критерием точности найденного решения.

Для нахождения погрешности найденного решения вычтем каждое уравнение системы (11.7) из соответствующего уравнения системы (11.1). Если ввести обозначения

то вновь полученная система уравнений, в которой неизвестными будут величины , запишется следующим образом

(11.8)

Решая эту систему методом Гаусса, мы фактически найдем значения ошибок в найденном приближенном решении . Новое, более точное приближение к решению системы (11.1) запишется таким образом

Заметим, что новые значения не есть точное решение, так как сами ошибки найдены с некоторой погрешностью.

Найденные значения снова можно подставить в левую часть уравнений системы (11.1) и, обозначив как , полученные при этом правые части, вычесть каждое уравнение новой системы из соответствующего уравнения системы (11.1). В итоге получим следующую систему уравнений относительно новых поправок к решению системы (11.1)

(11.9)

где

Новое, еще более точное приближение к решению системы (11.1) запишется в таком виде

При продолжении описанного процесса каждая следующая поправка будет меньше предыдущей, т.е. . Такой итерационный процесс уточнения решения следует продолжать до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность. Достигнутая точность, т.е. погрешность в определении найденного решения будет определяться значением поправок на последней итерации.