Метод простой итерации

Простейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации. Для применения данного метода система уравнений (11.1), в предположении, что диагональные элементы матрицы системы не равны нулю, преобразуется к эквивалентному виду

(11.20)

Теперь возьмем некоторое нулевое приближение к решению системы (11.20), обозначив его . Подставим это нулевое приближение в правую часть системы (11.20) и вычислим новое значение неизвестных

(11.21)

На этом первая итерация завершилась. На второй итерации найденные значения снова подставляем в правую часть системы (11.20) и вычисляем следующее приближение . Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разность не станет достаточно мала для всех i =1,2,…, n. Обычно критерий близости задают для относительного значения разности двух решений

(11.22)

где ε – некоторое положительное число.

Алгоритм метода простой итерации легко реализуется на ЭВМ, однако в описанном виде он применяется редко, так как существует возможность улучшить его сходимость за счет незначительного усложнения алгоритма без увеличения требуемого количества арифметических операций и ячеек машинной памяти. Такой улучшенный вариант алгоритма называется метод Зейделя.