Билинейная и квадратичная формы

Определение. Заданная в вещественном векторном пространстве Rфункция двух переменных , относящая каждой паре х, у векторов число называется билинейной функцией, или билинейным функционалом, если

.

.

.

,

где – произвольные векторы из Rи α — любое (вещественное) число.

Таким образом, есть линейный функционал по при фиксированном , и линейный функционал по при фиксированном .

Например, билинейным функционалом может служить скалярное произведение векторов вещественного евклидова пространства.

Найдем выражение билинейного функционала в координатах.

Пусть в пространстве R задан базис и пусть

Тогда:

где коэффициенты зависят от базиса и не зависят от х и у.

Таким образом, в заданном базисе билинейный функционал представляется билинейной формой, т.е. выражением вида .

Матрица называется матрицей этой билинейной формы. В частности, скалярное произведение представляется билинейной формой:

, где .

Билинейную форму можно рассматривать как матричное произведение:

,

где – строка из координат вектора , – столбец из координат вектора и – матрица билинейной формы.

Найдем, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к новому базису.

Пусть в базисе

, где

и пусть –новый базис, в котором

, где

Положим и обозначим через матрицу перехода от старого базиса к новому, тогда

Обозначив c_ip через d_pi получим

Матрица является транспонированной к матрице . Далее, так как есть элемент, стоящий в i -строке и q-м столбце матрицы АС, то

– это элемент, стоящий в р -й строке и q-м столбце матрицы .

Таким образом,

Заметим, что так как матрица перехода С (а значит, ) является невырожденной (т.е. имеет ранг n), то ранг матрицы В равен рангу матрицы А.

Таким образом, ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса и называется рангом самой билинейной формы (билинейного функционала).

Билинейный функционал называется симметрическим, если для всех и из R

.

В этом случае , т.е. матрица соответствующей билинейной формы (в любом базисе) будет симметрической; обратно, если матрица билинейной формы (в каком-то базисе) – симметрическая, то и соответствующий билинейный функционал будет симметрическим.

Если в симметрической билинейной форме положить , то получится квадратичная форма . При этом матрица А квадратичной формы - это, по определению, симметрическая матрица А отвечающей билинейной формы .

Заметим, что по квадратичной форме породившая ее симметрическая билинейная форма определяется однозначно.

Определение. Билинейная функция называется кососимметрической, если

при всех . В заданном базисе кососимметрическая функция представляется кососимметрической формой

,

где при всех i, k и, частности, .

Пусть - произвольный билинейный функционал. Тогда

является, очевидно, симметрическим, а – кососимметрическим функционалами. Но

,

следовательно, каждый билинейный функционал может быть представлен в виде суммы симметрического и кососимметрического функционалов.

10.3. Квадратичные формы

Квадратичной формой L( x ₁,..., x_n) от n переменных x ₁,..., x_n называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной переменной, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторыми коэффициентами, т.е.

,

где – действительные числа, называемые коэффициентами, причем .

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами.

Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

Так как , то матрица А – симметрическая матрица, т.е. она совпадает со своей транспонированной матрицей : A^Т = А ().

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.

Обозначим через – матрицу – столбец переменных, тогда квадратичная форма в матричной записи имеет вид:

,

Пример. Дана квадратичная форма

.

Найти матрицу квадратичной формы.

Решение.

Диагональные элементы матрицы квадратичной формы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. а ₁₁ = 4, а ₂₂ = 1, а ₃₃ = –3. Другие же элементы матрицы квадратичной формы равны половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Таким образом, матрица имеет вид

.

10.4. Преобразование квадратичной формы
при линейном преобразовании переменных

Рассмотрим квадратичную форму

Если в квадратичной форме неизвестные вектор – столбцы и связаны линейным соотношением X=CY, где некоторая невырожденная матрица n -ого порядка, т.е. подвергаются линейному преобразованию, то квадратичная форма имеет вид

,

где матрица квадратичной формы .

В этом случае говорят, что квадратичная форма переводится в квадратичную форму линейным преобразованием X=CY.

Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует невырожденное преобразование, переводящее одну форму в другую.

Если две квадратичные формы конгруэнтны, то это обозначается так: ~ .

Свойства конгруэнтных квадратичных форм:

1) Определители матриц конгруэнтных квадратичных форм имеют одинаковые знаки;

2) Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

Пример.

Дана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием ,

Решение.

Матрица данной квадратичной формы , а матрица линейного преобразования . Таким образом, матрица искомой квадратичной формы имеет вид

а квадратичная форма имеет вид