Решение. а) Для вычисления определителя по первой строке

а) Для вычисления определителя по первой строке

.

Найдем алгебраические дополнения для элементов первой строки элементов (так как элемент , то можно не вычислять его алгебраическое дополнение):

,

,

.

Подставим полученные значения в формулу:

б) Для вычисления определителя по элементам второго столбца

.

найдем алгебраические дополнения для соответствующих элементов (так как элемент , то можно не вычислять его алгебраическое дополнение):

,

,

.

Подставим полученные значения в формулу:

Следствие 2. Пусть - произвольный набор n чисел. Сумма произведений чисел на алгебраические дополнения соответствующих элементов i- й строки определителя ∆ равна новому определителю ∆₁, полученный из данного ∆ заменой элементов i- й строки на :

Следствие 3. Сумма произведений элементов некоторой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки этой матрицы равна нулю: .

В самом деле, если в следствии 3 взять , то в определителе получаем две одинаковые строки и по свойству определителя ∆=0.

Следствие 4. определитель треугольной матрицы и, в частности, диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Учитывая, что , где символ Кронекера. Тогда в терминах символа Кронекера следствия 3 и 4 записываются следующим образом:

.

Теорема (об определителе произведения матриц). Определитель произведения нескольких квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц:

,

где – множество квадратных матриц n- го порядка с элементами поля k.