Определители (детерминанты) квадратных матриц

Определение. Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам.

Определитель квадратной матрицы n -го порядка обозначается символами .

Пусть A = (a_ij) () — квадратная матрица порядка n. Рассмотрим все возможные произведения n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида: , где индексы (i ₁, i ₂,..., i_n) – номера столбцов, которые составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,..., n. Таких произведений можно составить столько, сколько существует перестановок n символов (i ₁, i ₂ ,..., i_n), т.е. равно n!. Все эти n! произведений называются членами определителя, причем каждому из них приписывается знак (- 1) ^t, где t - число инверсий в перестановке (i ₁, i ₂ ,..., i_n).

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице A n-го порядка, называется алгебраическая сумма n! членов вида , каждый из которых является произведением n элементов матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, при этом члену приписывается знак плюс или минус, в зависимости от того, четную или нечетную перестановку образуют индексы столбцов элементов члена, при условии, что первые индексы расположены в порядке следования строк: где t – число инверсий в перестановке (i ₁, i ₂ ,..., i_n).

Обозначается определитель следующим образом: Тогда

Теорема (о знаке члена определителя). Знак члена определителя совпадает со знаком , где s – число инверсий в перестановке индексов строк , а t – число инверсий в перестановке индексов столбцов .

Доказательство. Покажем, что четность числа s + t не меняется, если в члене определителя поменять местами некоторые два элемента. Пусть это будут первые два: . Обозначим через - число инверсий в перестановке индексов строк , - число инверсий в перестановке индексов столбцов . Уже было доказано, что одна транспозиция в перестановке меняет ее тип на противоположный, поэтому числа и являются нечетными, их сумма ()+() – четная, а также число тоже четно. Следовательно, и - числа одинаковой четности.

В произведении аналогично последовательной перестановкой множителей разложим их в порядке следования строк. Получим член , знак которого совпадает с , где - число инверсий в перестановке , т.к. для данного члена =0. Выше показано, что четности чисел и совпадают, следовательно, = . ■