Умножение многочленов

Определение. Если даны два многочлена f(x) и g(x):

и , ,

то под произведением многочленов понимается многочлен

,, где .

Таким образом, результат произведения многочленов – многочлен, составленный как сумма всевозможных попарных произведений членов первого многочлена на члены второго. В частности,

Теорема. Множество всех многочленов с действительными или комплексными коэффициентами, рассматриваемые вместе с определенными на нем операциями сложения и умножения, образуют кольцо, т.е.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

Лемма. Пусть f (x) и g (x) – ненулевые многочлены

,

, ,

Тогда степень суммы многочленов не превосходит максимума степеней слагаемых, а степень произведения равна сумме степеней сомножителей.

.