Анализ кривой Гаусса. Точные и эмпирические формулы для средних величин

Прежде чем приступить к использованию распределения Гаусса для оценки погрешностей измерений, рассмотрим детально поведение функции и ее производных, чтобы определить особые точки на кривой у(х) и характерные значения у при некоторых х.

Ниже на графиках приведена сама функция и ее первая производная, которая демонстрирует наличие на кривой у(х) двух точек перегиба (х ₁ и х ₂).

Положение максимума у(х) находим путем приравнивания нулю первой производной у΄(х), хотя, в принципе, и так ясно, что он находится в точке х = 0. Точки перегиба находим, в свою очередь, путем приравнивания нулю второй производной Выражения для у΄΄(х) и у΄΄(х) имеют следующий вид

Решая уравнение у΄΄(х) = 0, находим точки перегиба: х ₁ = -σ, х ₂ = +σ. Значения у(х) в этих точках, а также в точках х = ±2σ и х = ±3σ вычисляем при помощи калькулятора: у( ±σ)» 0,60; у (±2σ)» 0,14; у (±3σ)» 0,01. Из приведенного рассмотрения следует, что разность х ₂ – х ₁, которая характеризует ширину кривой у(х), равна 2σ, а расположена эта ширина на высоте 0,6. Кроме того, видно, что реальный интервал изменения у(х) ограничен значениями ±3σ (при | х | > 3σ у(х) асимптотически стремится к нулю).

Перейдем теперь от функции распределения случайных ошибок к функции распределения измеряемых величин х (см. вопрос 14). Согласно правилам нахождения средних величин, мы можем найти среднее значение < x > и дисперсию, используя соответствующие выражения

После взятия интегралов получим < x > = x ₀ и <(x-x ₀)²> = σ².

Данные формулы для средних величин являются точными, в отличие от эмпирических формул, используемых при обработке результатов ограниченного числа измерений (см. вопрос 13). Глубинный смысл использования кривой Гаусса при обработке результатов эксперимента заключается в приравнивании (отождествлении) точных и эмпирических величин для средних. Прежде всего такое приравнивание дает основание аппроксимировать точное значение х ₀ его средним значением, полученным суммированием величин х_i. Далее, это дает основание заменять точную величину σ ее эмпирическим аналогом, что позволяет использовать величины S, найденные из измерений, для нахождения доверительных интервалов и доверительных вероятностей (см. вопрос 16).