Распределение Стьюдента

При ограниченном числе измерений (n £ 20) закон распределения ошибок в реальном эксперименте описывается функцией Стьюдента, которая имеет вид

где – гамма-функция, значения которой при 1 £ m £ 2 табулированы, а для m < 1 и m > 1 используют рекуррентное соотношение Г(m +1) = m ×Г(m).

Найдем вид r(x, n) для предельно низкого значения n = 2 и δ = 1, воспользовавшись табличными значениями Г(1) = 1 и Г(1,5) = 0,886, а также рекуррентным соотношением Г(1,5) = 0,5Г(0,5). Это выражение, как нетрудно показать, будет иметь следующий вид

Данные распределение называется лоренцовским, которое в сравнении с распределением Гаусса характеризуется более длинными хвостами. Легко показать, что мы не ошиблись при нахождении r(х, 2); проинтегрировав это выражение от -∞ до ∞. Получим, что интеграл этот равен единице, как и должно быть для нормированного на 1 распределения ошибок в эксперименте (интеграл этот находится с использованием таблиц).

Сравним оба распределения – гауссовское и лоренцовское – на рисунке, приведенном ниже. Учтем при этом, что r(0, 2) = 1/π, а r(0, ∞) = 1/ ,

с учетом чего r(0, 2)/r(х, ∞) = /π = 0,8.

Видно, что высота распределения Стьюдента при n = 2 понижается на 20% в сравнении с высотой распределения Гаусса, а крылья линии становятся более протяженными.

При малых n как доверительный интервал, так и доверительная вероятность зависят от числа измерений n. Существуют справочные таблицы, которые связывают между собой доверительный интервал и доверительную вероятность при разных n. При этом доверительный интервал измеряют обычно в безразмерных единицах, которые определяют по формуле t _s = ε . Эти величины называют коэффициентами Стьюдента.

При работе с распределением Стьюдента вместо таблиц 1, 2 для распределения Гаусса существуют таблицы 3, 4, которые в упрощенном виде приведены ниже. Из таблиц 3, 4 видно, что понижение числа измерений ведет к увеличению доверительного интервала и понижению доверительной вероятности, т.е. к снижению точности измерений.

Таблица 3. Доверительные вероятности Р(ts) при разных n		Таблица 4. Значения ts как функция Р при разных n
ts n				P n	0,50	0,95	0,99
∞	0,500 0.650 0,670 0,683	0,700 0,930 0,940 0,995	0,800 0,985 0,993 0,997	∞	0,70 0,69 0,675	2,26 2,09 1,960	3,25 2,86 2,576