Непротиворечивость системы аксиом

Система аксиом называется непротиворечивой, или совместной, если в теории этой системы невозможно доказать какое–нибудь утверждение А и его отрицание ù А. В противном случае система аксиом называется противоречивой.

Теория , содержащая вместе с некоторым утверждением А Î и отрицание этого утверждения ù А Î называется не классической теорией. С точки зрения "здравого смысла" такая теория абсурдна, так как в мире "реальных вещей" некоторое свойство А "выражает" отношение этих реальных вещей и не может одновременно "не выражать" это отношение.

Теоретическая проверка совместности системы аксиом, основанная на непосредственном определении совместности, затруднительна. Действительно, пусть мы доказали утверждения А ₁, А ₂,..., А_n теории и пусть отрицание этих свойств ù А ₁,..., ù А _n невозможны в . Где гарантия, что не найдется свойство А_{n +1}, которое доказуемо вместе со своим отрицанием ù А_{n +1} в теории ? Такой гарантии нет, поскольку перебрать все возможные утверждения некоторой теории практически невозможно. Например, евклидова геометрия, согласно работе профессора Гарвардского университета Гаррета Биркгоффа [10], основанная на 20 аксиомах Гильберта, включает около 20.000 утверждений, получаемых логическим путем. Ясно, что нет никакой возможности проверить на непротиворечивость все эти 20.000 утверждений, составляющий предмет геометрической теории ={ А ₁, А ₂,..., А _20.000 }.

Мы уже говорили, что с точки зрения здравого смысла противоречивая система аксиом не должна допускать никакой реализации или модели (кроме, быть может, мыслимой модели), так как ни одно свойство в реальной модели не может иметь место вместе со своим отрицанием. Отсюда легко получаем следующее достаточное условие совместности.

Система аксиом Т совместна или непротиворечива, если существует хотя бы одна реализация R (T) этой системы.

Доказательство. Пусть А и Т ù А. Тогда реализация R (T) содержит свойство А и его отрицание, что невозможно в непротиворечивой реализации.