Определение изоморфизма

Две реализации R (T) и R '(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия:

существует взаимно–однозначное соответствие (2) между реализациями R_i (M_i) и R ^' _i (M_i) базовых множеств M_i, i =1,2,…, m;

отображение (2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми свойствами P ^' _i (r ^'₁,…, r ^' _m) и P_i (r ₁,…, r_m), представляющими в моделях R и R ^' свойства Ð_i(x ₁,…, x_m) соответствующих при отображении (2) элементов r ^' _i x_i r_i.

Само отображение (2) при этом называется как изоморфизмом моделей или реализацией R (T) и R ^'(T), так и изоморфизмом аксиоматических структур T; P; R и T; P ^'; R ^' .

Другими словами, изоморфизм моделей – это такое взаимно однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.

В примере 1, приведенном выше, модели R ² и L ₂ не изоморфны. В примере 2 модели e² и E ² изоморфны.