Теорема об изменении количества движения механической системы

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы.

(1)

Вектор количества движения механической системы имеет модуль, равный произведению массы системы на скорость ее центра масс и направление этой скорости.

Проецируем вектор на оси координат:

: ; (2)

Проекция количества движения механической системы на каждую координатную ось, равная сумме проекций количеств движения всех точек системы на одну ос, определяется произведением массы системы на проекцию скорости центра масс на эту же ось.

Дифференцируем (1) по времени:

.

Согласно уравнению движения центра масс системы,

.

Следовательно, (3)

Уравнение (3) выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему.

Векторному уравнению (3) соответствуют три уравнения в проекциях оси координат:

; : (4)

Уравнения (4) показывают, что производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора внешних сил, действующих на систему, на ту же ось.

Из уравнений (3) и (4) следует, что изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами.

С л е д с т в и я и з т е о р е м ы;

1. Если главный вектор внешних сил за рассматриваемой промежуток времени равен нулю, то количество движения механической системы постоянно.

Из уравнения (3) следует, что если

т.е. . (5)

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.

Так, например, при из первого уравнения (4)

откуда

Следствия из теорем об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества движения системы.