Частично упорядоченные множества

Множество S называется частично упорядоченным (ЧУМ), если на нем задано рефлексивное, транзитивной и антисимметричное бинарное отношение частичного порядка с.

Частичным упорядочением (частичным порядком) в непустом множестве X называется всякое подмножество множества , удовлетворяющее следующим аксиомам:

I. При любом справедливо - рефлексивность отношений.

II. Если и , то y = x - антисимметричность отношений.

III. Если и , то - транзитивность отношений.

Часто вместо записи пишут x ≤ y или y ≥ x. Иногда вместо знака ≤ могут применять и другие похожие символы например . Тогда аксиомы можно записать в виде:

I. при всех справедливо - рефлексивность отношений.

II. Если x ≤ y и y ≤ x, то y = x - антисимметричность отношений.

III. Если x ≤ y и y ≤ z, то x ≤ z - транзитивность отношений.

Эти соотношения называются неравенствами.

Частично упорядоченное множество – это некоторое множество X вместе с заданным на нем частичным порядком P, то есть пара (X, P).