 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Бинарные отношения
|
|
Последовательность длины п, члены которой суть а1,.... аn, будем обозначать через {а1,.... аn}. Последовательность {а1, а2} длины два будем называть упорядоченной парой. Декартово (прямое) произведение 
множеств А и В определяется как множество всевозможных пар {а, b}, где 
, 
т.е.
A 
B 
{<a,b>|a 
A&b B}
Таким образом, д екартовым произведением 
множеств Мa и Мь, называется множество М вида 
.
Угловыми скобками < > обозначается последовательность, т. е. множество, в котором зафиксирован порядок элементов, т.е кортеж.
Кортежем длины n, составленным из элементов множеств X1, X2, …, Xn, называется конечная последовательность 
.
Если отношение устанавливается между двумя множествами, то Прямым (декартовым) произведением множеств А и В, обозначаемым А В, называется множество упорядоченных пар, такое, что первая координата каждой пары — элемент А, а вторая координата — элемент В, т.е. А В = {<a,b>| а А и b В}.
В целях наглядного представления декартовых произведений удобно использовать язык геометрии. Для этого множества X, Y представляются осями координат. Элементы х X, у Y — соответственно абсциссами и ординатами. Само произведение ХY — точками плоскости ХОY. В качестве примера на рис. 1 показано декартово произведение множеств Х = {1, 2, 3}, Y = {1, 2}.
рис. 4.1
Бинарное отношение R 
X Y может отражать разный смысл.
Пример. Значениями множества Х можно закодировать названия книжных издательств, а элементами множества Y — всех фирм некоторого региона, которые занимаются продажей этих книг. Тогда отношению R X Y можно придать смысл множества заключенных договоров между издательствами и торгующими фирмами. Пусть Х={1, 2, 3}, Y={1, 2} рассматриваются как три издательства и два магазина, продающие книги. Тогда отношение R = {<1,1>, <2,2>, <3,2>} означает, что издательство 1 заключило договор с магазином 1, издательство 2 — с магазином 2, издательство 3 — с этим же магазином 2.
Пример. Пусть А = {1,2}, В = {а,b,с}.
Тогда А В = {<1,а>, <1,b>, <1,с>, <2,а>, <2,b>, <2,с>}. Декартово произведение А В = {<а,1>, <b,2>, <с,1>, <а,2>, <b,2>, <с,2>}. Декартово произведение А А = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>} называется декартовым квадратом множества А.
Пример. Если множество А включает т различных элементов, а множество В — п элементов, то произведения множеств А В и В А имеет т п элементов. Пусть А = {1}, а В ={1,2,3}. Тогда А В ={< 1, 1 >, <1,2>, <1, 3 >}. Если А = 0, а В = {1, 2, 3}. Тогда А В=В А=0.
Пример 2. Всё множество координат всех клеток шахматной доски можно записать декартовым произведением вида {a,b,c,d,e,f,g,h} {1,2,3,4,5,6,7,8} = {‹a,1›,..., ‹a,b›, ‹b,1›,..., ‹b,b›,..., ‹h,8› }
Любое непустое подмножество R декартова произведения Х Y множеств X,Y называется бинарным отношением между Х и Y. Записывается это так: R Х Y, или так: хRу, или так: <х,у> R. Слово «бинарный» происходит от английского binary, что в переводе означает «двойной». Любое непустое подмножество Х Y является бинарным отношением на X. В частности, множество Х X называется универсальным отношением на X.
Пусть А и В два конечных множества. Напомним, что декартово произведение множеств А и В это множество А В, состоящее из всех упорядоченных пар <а, b>, где а A, b 
B.
Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество R. множества А В,т.е. R 
А В.
Под бинарным отношением (с левой областью А и правой областью В) подразумевается произвольное подмножество 
. Если А = В, то будем говорить о бинарном отношении на множестве А. Вместо 
часто пишут a R b.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 434 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
