![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Число называется собственным числом квадратной матрицы А n -ого порядка, если существует такой ненулевой n -мерный вектор Х, что А Х =
Х.
Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу .
Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.
Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений
(А - Е) = 0.
Задача 4.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
А = .
Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А - Е, где Е – единичная матрица,
–независимая переменная.
А – Е =
–
=
.
При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.
Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения . Получаем:
,
,
.
Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.
Пусть
Х = – искомый собственный вектор.
Тогда система однородных уравнений (А - Е) = 0 выглядит так:
или
(1)
Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.
При система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы , где
любое число.
В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу
, имеет вид
.
При система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы , где
любое число.
Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу
, имеет вид
.
Аналогично при получаем систему
,
общее решение которой , где
любое число.
Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу
, имеет вид
.
Ответ: ,
,
,
,
,
.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 363 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!