Указания к задаче 4: собственные числа и собственные векторы

Число называется собственным числом квадратной матрицы А n -ого порядка, если существует такой ненулевой n -мерный вектор Х, что А Х = Х.

Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу .

Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений

(А - Е) = 0.

Задача 4.

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

А = .

Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А - Е, где Е – единичная матрица, –независимая переменная.

А – Е = – = .

При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.

Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения . Получаем:

, , .

Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть

Х = – искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А - Е) = 0 выглядит так:

или

(1)

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При система (1) принимает вид:

Общее решение этой системы , где любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид

.

При система (1) принимает вид:

Общее решение этой системы , где любое число.

Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид

.

Аналогично при получаем систему

,

общее решение которой , где любое число.

Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид

.

Ответ: , , ,

, , .