Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости

Для решения задачи (прямая линия на плоскости) следует использовать следующие сведения:

1). Угол наклона прямой к оси OX - это угол, на который нужно повернуть ось OX, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если поворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачиваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой .

2). Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона прямой к оси OX. Будем обозначать его буквой k. Следовательно,

k = tg . (1)

3). Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси OY (рис.1), то ее уравнение

y = kx + b, (2)

где b - ордината точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x,у) - координаты любой точки на прямой. Если прямая параллельна оси OY (рис.2), то ее уравнение

x = a, (3)

где a - абцисса точки пересечения прямой с осью OX.

4). Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0,y0) и имеющей угловой коэффициент k,

y - y0 = k (x - x0), (4)

где (x0,y0) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

5). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1,y1) и M2 (x2,y2),

(5)

где (x 1,y 1) - координаты одной точки на прямой, (x2,y2) - координаты другой точки на прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

6). Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0, (6)

где A, B, C - заданные числа, причем A и B одновременно в нуль не обращаются, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

Если B не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобразовать следующим образом:

y = - x - . (6')

Тогда, сопоставив формулы (6') и (2), имеем:

k = -

7). Условие параллельности двух прямых

k1 = k2, (7)

где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.

8). Условие перпендикулярности двух прямых

k 1 k2 = -1, (8)

где k 1 и k 2 - угловые коэффициенты прямых.

9). Нахождение координат точки пересечения двух прямых

Если две непараллельные прямые заданы своими уравнениями:

A1 X + B1Y + C1 = 0 и A2 X + B2Y + C 2 = 0,

то координаты точки пересечения этих прямых - есть решение системы уравнений:

(9)

10.) Нахождение угла между прямыми:

(10.a)

(10.б.)

если то формула понимается условно (),

- угол на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельна второй.

11). Нахождение координат середины отрезка

Если точка A имеет координаты (xa,ya), а точка B - (xb,yb), то координаты середины O отрезка АB можно найти по формулам:

(11)

12). Нахождение длины отрезка

Если точка А имеет координаты (xa,ya), а точка В - (x b,yb), то длину отрезка АВ можно найти по формуле:

. (12)

13). Деление отрезка в данном отношении

Если точка A имеет координаты (xa,ya), а точка B - (xb,yb), то координаты точки С делящей отрезок АB в отношении m: n можно найти по формулам:

(13)

14.) Площадь треугольника. Пусть точки А₁(x₁,y₁), A₂(x₂,y₂), A₃(x₃,y₃) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

(14.)

Знак перед определителем выбирается так, чтобы площадь была положительной.

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача 2. Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС.

2.а.) Найти уравнения сторон треугольника АВС

Решение. Первая прямая проходит через две точки А (2,1), В (1,-2), поэтому ее уравнение будем искать в виде (5): .

Подставляя x1 = 2, x2 = 1, y1= 1, y2= -2, получим:

Вторая прямая проходит через две точки В (1,-2), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5): .

Подставляя x1 = 1, x2 = -1, y1= -2, y2= 0, получим: , разделим на 2 получим x+y+1=0.

Третья прямая проходит через две точки А (2,1), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5): .

Подставляя x1 = 2, x2 =-1, y1=1, y2= 0, получим:

2.б.) Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС.

Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

B (1;-2), C (-1;0)

Уравнение медианы АM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана АМ проходит через точки А (2;1) и М (0;-1), поэтому:

2.в.) Найти уравнение одной из высот треугольника АВС.

Решение. Найдем уравнение высоты CZ, проходящей через точку

С (-1;0) и точку Z, лежащую на стороне АВ: 3x-y-5=0. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой АВ. Для этого представим уравнение

3x-y -5 = 0 в виде (2): y = k ₁ x + b.

, т.е. k₁ = 3.

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых (8): k₁ k = -1.

Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой,получим:

.

Так как перпендикуляр проходит через точку С(-1;0) и имеет

k =- ,то будем искать его уравнение в виде (4):

y-y₀ =k(x-x₀).

Подставляя

x ₀ = -1, k =- , y₀=0 получим:

y - 0 =- (x –(-1)) x +3y + 1 = 0.

уравнение высоты CZ.

2.г.) Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС.

Решение. Найдем биссектрису угла ВАС. Точку пересечения биссектрисы со стороной СВ обозначим М.

Воспользуемся формулой (10.б) AB: 3x-y-5=0, AC: x-3y-1=0

Углы вычисляем на калькуляторе, либо по таблицам. Биссектриса делит угол пополам, следовательно . Тангенс угла наклона АВ равен 3 ( т.к. y=3x-5). Угол наклонаравен 71⁰. . .

Биссектриса проходит через точку А (2,1), используя формулу (4), имеем:

y - y0 = k (x - x0); y-1=1(x-2), уравнение биссектрисы y = x-1

2.д.) Найти площадь треугольника АВС.

Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС. Воспользуемся формулой (14).