![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для решения задачи (прямая линия на плоскости) следует использовать следующие сведения:
1). Угол наклона прямой к оси OX - это угол, на который нужно повернуть ось OX, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если поворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачиваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой .
2). Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона прямой к оси OX. Будем обозначать его буквой k. Следовательно,
k = tg . (1)
3). Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если прямая не параллельна оси OY (рис.1), то ее уравнение
y = kx + b, (2)
где b - ордината точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x,у) - координаты любой точки на прямой. Если прямая параллельна оси OY (рис.2), то ее уравнение
x = a, (3)
где a - абцисса точки пересечения прямой с осью OX.
4). Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0,y0) и имеющей угловой коэффициент k,
y - y0 = k (x - x0), (4)
где (x0,y0) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
5). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1,y1) и M2 (x2,y2),
(5)
где (x 1,y 1) - координаты одной точки на прямой, (x2,y2) - координаты другой точки на прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
6). Общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0, (6)
где A, B, C - заданные числа, причем A и B одновременно в нуль не обращаются, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
Если B не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобразовать следующим образом:
y = - x -
. (6')
Тогда, сопоставив формулы (6') и (2), имеем:
k = -
7). Условие параллельности двух прямых
k1 = k2, (7)
где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.
8). Условие перпендикулярности двух прямых
k 1 k2 = -1, (8)
где k 1 и k 2 - угловые коэффициенты прямых.
9). Нахождение координат точки пересечения двух прямых
Если две непараллельные прямые заданы своими уравнениями:
A1 X + B1Y + C1 = 0 и A2 X + B2Y + C 2 = 0,
то координаты точки пересечения этих прямых - есть решение системы уравнений:
(9)
10.) Нахождение угла между прямыми:
(10.a)
(10.б.)
если то формула понимается условно (
),
- угол на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельна второй.
11). Нахождение координат середины отрезка
Если точка A имеет координаты (xa,ya), а точка B - (xb,yb), то координаты середины O отрезка АB можно найти по формулам:
(11)
12). Нахождение длины отрезка
Если точка А имеет координаты (xa,ya), а точка В - (x b,yb), то длину отрезка АВ можно найти по формуле:
. (12)
13). Деление отрезка в данном отношении
Если точка A имеет координаты (xa,ya), а точка B - (xb,yb), то координаты точки С делящей отрезок АB в отношении m: n можно найти по формулам:
(13)
14.) Площадь треугольника. Пусть точки А1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
(14.)
Знак перед определителем выбирается так, чтобы площадь была положительной.
Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.
Задача 2. Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС.
2.а.) Найти уравнения сторон треугольника АВС
Решение. Первая прямая проходит через две точки А (2,1), В (1,-2), поэтому ее уравнение будем искать в виде (5): .
Подставляя x1 = 2, x2 = 1, y1= 1, y2= -2, получим:
Вторая прямая проходит через две точки В (1,-2), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5): .
Подставляя x1 = 1, x2 = -1, y1= -2, y2= 0, получим: , разделим на 2 получим x+y+1=0.
Третья прямая проходит через две точки А (2,1), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5): .
Подставляя x1 = 2, x2 =-1, y1=1, y2= 0, получим:
2.б.) Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС.
Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
B (1;-2), C (-1;0)
Уравнение медианы АM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана АМ проходит через точки А (2;1) и М (0;-1), поэтому:
2.в.) Найти уравнение одной из высот треугольника АВС.
Решение. Найдем уравнение высоты CZ, проходящей через точку
С (-1;0) и точку Z, лежащую на стороне АВ: 3x-y-5=0. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой АВ. Для этого представим уравнение
3x-y -5 = 0 в виде (2): y = k 1 x + b.
, т.е. k1 = 3.
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых (8): k1 k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой,получим:
.
Так как перпендикуляр проходит через точку С(-1;0) и имеет
k =- ,то будем искать его уравнение в виде (4):
y-y0 =k(x-x0).
Подставляя
x 0 = -1, k =- , y0=0 получим:
y - 0 =- (x –(-1))
x +3y + 1 = 0.
уравнение высоты CZ.
2.г.) Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС.
Решение. Найдем биссектрису угла ВАС. Точку пересечения биссектрисы со стороной СВ обозначим М.
Воспользуемся формулой (10.б) AB: 3x-y-5=0, AC: x-3y-1=0
Углы вычисляем на калькуляторе, либо по таблицам. Биссектриса делит угол пополам, следовательно . Тангенс угла наклона АВ равен 3 ( т.к. y=3x-5). Угол наклонаравен 710.
.
.
Биссектриса проходит через точку А (2,1), используя формулу (4), имеем:
y - y0 = k (x - x0); y-1=1(x-2), уравнение биссектрисы y = x-1
2.д.) Найти площадь треугольника АВС.
Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС. Воспользуемся формулой (14).
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 659 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!