Задача 3. Воспользуемся формулой (11)

Даны точки А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2), А ₄ (0,1,1).

3.а.) Найти длину ребра А₁ А_2.

Воспользуемся формулой (11). Расстояние между двумя точками.

Длина ребра А₁ А₂ равна 3_.

3.б.) Составить уравнение ребра А₁ А_4.и грани А₁А₂А_{3 .}

Составим уравнение прямой проходящей через точки

А ₁ (1,-1,-2) и А ₄ (0,1,1), воспользуемся формулой(2)

;

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки

А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2),

Воспользуемся формулой (7)

уравнение грани 6 x-8y+5z-4=0, ребра

3.в) Составить уравнение высоты опущенной из точки

А ₄ (0,1,1) на плоскость А₁А₂А_{3 .}

Высота проходит через точку А ₄ (0,1,1) иперпендикулярна плоскости 6 x-8y+5z-4=0, имеющей вектор нормали .

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали данной плоскости, следовательно т.к. (2), то уравнение искомой высоты.

или в параметрической форме (3)

x=6t, y=1-8t, z=1+5t

3.г.) Найти площадь треугольника А₁A₂A₃ с вершинами

А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2),

Площадь треугольника будет равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов. Воспользуемся формулой (13)

;

,

3.д) Найти объем треугольной пирамиды А₁A₂А₃A₄ с вершинами

А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2), А ₄ (0,1,1).

Искомый объем равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах А₁A₂, А₁A₃, А₁A₄. Воспользуемся формулой (14)

, ,