![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим числовую последовательность , где
,
С ростом
основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении
сказать нельзя. Для вычисления
воспользуемся выражением для бинома Ньютона:
. (0.0.1)
В нашем случае
.
Из полученного выражения следует, что с увеличением величина
растет. Действительно, перейдем от
к
. Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как
. Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то
. Значит, числовая последовательность
монотонно возрастает.
Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида единицей. Так как
, то
.
Кроме того ,
,...,
. Значит,
.
В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма первых членов такой прогрессии равна:
. В нашем случае
. С ростом
величина
будет, очевидно, стремится к единице. Значит,
, то есть, ограничено сверху.
Итак, мы получили, что . Но так как
монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:
Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений :
.
Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:
, где n = [ x ] - это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то
. Поэтому, согласно пределу
, имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 454 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!