Б. Последовательность и ее предел

1. Последовательность, предел последовательности.

2. Свойства сходящейся последовательности.

Еще 1 св-во

3. Принцип Коши-Кантора для системы вложенных отрезков.

=

4. Принцип Гейне-Бореля для покрытия отрезка.

Пусть отрезок покрыт бесконечной системой Σ интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов из Σ не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок пополам на два равных отрезка: и . По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из Σ. Обозначим его и повторим для него процедуру деления пополам.

Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из Σ. Но если ξ — точка в которую стягиваются отрезки, то, поскольку ξ лежит на отрезке, она должна входить в некоторый интервал σ системы Σ. Тогда все отрезки последовательности, начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом σ. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.

5. Предел подпоследовательности. Частичные пределы. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом.

Нижним пределом последовательности (обозначается или ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом ( или ) — наибольший элемент.

Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал . Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть — верхняя грань множества частичных пределов. Тогда заметим, что , а это означает, что в любой окрестности точки находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого , мы можем сказать, что в любой окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку ). Значит, по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность сходится к тогда и только тогда, когда , так как получается, что — единственная предельная точка множества элементов последовательности

6. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

7. Монотонные последовательности и их свойства.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

— неубывающая

Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

— невозрастающая

Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

— возрастающая

Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

— убывающая

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.