Векторная алгебра

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

. (2.7)

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

10. ,	20. ,
30. ,	40. .

Отметим, что поскольку , то для скалярного квадрата используют обозначение .

Пример 2.5. Вычислить выражение , если , |, j=2p/3.

Решение. Раскроем скобки, учитывая свойства скалярного произведения векторов:

.

Далее из определения скалярного произведения следует:

18–24–64 = –70.

Тройка векторов называется правой, если вектора, приведенные к одному началу, располагаются также, как расставленные пальцы правой руки: большой палец – по первому вектору, указательный – по второму, средний – по третьему. Если смотреть во внутрь телесного угла, образованного этими векторами, то движение от первого ко второму, от второго к третьему будет совершаться против часовой стрелки. Обычно на практике рассматриваются только правые системы векторов.

Правая тройка	Левая тройка

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) ,

б) вектор перпендикулярен к обоим векторам и ,

в) упорядоченная тройка , , – правая.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

10. ,	20. ,
30. ,	40. .

Пример 2.6. Вычислить выражение , если , и j = 2p/3.

Решение. Раскроем скобки внутри модуля, учитывая свойства векторного произведения:

.

Далее, из определения векторного произведения следует:

.

Отметим еще некоторые свойства скалярного и векторного произведений:

Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: .

Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю: .

Если два вектора и определены своими координатами в ортонормированном базисе: , , то скалярное произведение вычисляется по формуле:

, (2.8)

а векторное произведение по формуле

(2.9)

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Смешанным произведением векторов , и называется число и обозначается .

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

10. ,	20. ,
30. ,	40. .

Отметим еще некоторые свойства смешанного произведения:

Три вектора , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

Если три вектора , и определены своими координатами в ортонормированном базисе: , , , то смешанное произведение вычисляется по формуле:

(2.10)

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Пример 2.7. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, если A (3;–2;–4), B (–5;3;4), C (1;–3;2), D (4;1;–2).

Решение. Найдем координаты векторов :

.

а) Объем пирамиды ABCD вычислим по формуле:

.

Поскольку

,

то,

б) Площадь грани ABC вычислим по формуле:

.

Поскольку

,

то площадь грани ABC будет равна

в) Для того чтобы найти косинус угла между ребрами AB и AC найдем косинус угла между векторами и :

.

Тогда .