Матричный метод. Обратная матрица

Матрица А ^–1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если выполняется равенство AA ^–1 = A ^–1 A = E. Только квадратные матрицы могут иметь обратные. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля: det A ¹0.

Пример 1.7. Решить систему линейных уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).

Решение. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде:

.

Тогда решение можно формально записать в виде:

.

Таким образом, чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу

.

Найдем ее

1) Вычисляем определитель исходной матрицы: .

2) Транспонируем матрицу .

3) Находим все алгебраические дополнения транспонированной матрицы:

,	,	,
,	,	,
,	,	.

4) Составляем присоединенную матрицу, для этого вместо элементов транспонированной матрицы ставим найденные алгебраические дополнения:

5) Записываем обратную матрицу, для этого все элементы присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы:

.

6) Сделаем проверку:

.

Следовательно, обратная матрица найдена правильно.

Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:

.