Ранг матрицы. Минором Mk k-го порядка матрицы А называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и k столбцов матрицы А

Минором M_k k-го порядка матрицы А называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и k столбцов матрицы А. В частности, минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы А. В матрице А минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю или вообще не существуют. Отметим, что в матрице может быть несколько базисных миноров, но порядок у них будет одинаковым.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначать ранг матрицы А будем символом Rg A. Матрицам с нулевым рангом соответствуют нулевые матрицы.

Пример 1.11. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

Решение. а) Фиксируем минор 2-го порядка, неравный нулю:

Вычисляем миноры 3-го порядка, окаймляющих М ₂:

Следовательно, Rg A =2, а минор М ₂ – один из базисных миноров.

б) При помощи элементарных преобразований данной матрицы приведем ее к диагональному виду: