 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Примеры решения задач и комментарии
|
|
Пример 1. Даны координаты вершин треугольника А (0, -2), В (1, 1), С (3, 0). Написать общее уравнение медианы треугольника, опущенной из вершины В.
Решение. Найдем координаты точки М, середины основания АС.
; 
.
Напишем теперь уравнение прямой ВМ, проходящей через две точки В и М:
; 
; 
.
После элементарных преобразований имеем
, или 
,
отсюда 
.
Получили искомое уравнение медианы.
Пример 2. Даны три точки А (3, 1), В (1, -2), С (3, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.
Решение. Запишем уравнение прямой АВ, проходящей через две точки А и В.
или 
,
отсюда 
.
Разрешая это уравнение относительно переменной у, найдем уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом
.
Угловой коэффициент этой прямой равен 
.
Из условия перпендикулярности двух прямых получим угловой коэффициент k 1 прямой, перпендикулярной прямой АВ:
.
Запишем теперь уравнение прямой с данным угловым коэффициентом k 1 и проходящей через точку С. Воспользуемся формулой
,
отсюда 
.
После элементарных преобразований получаем требуемое уравнение
.
Пример 3. Дано уравнение второго порядка
9 x 2 - 4 y 2 - 36 x - 8 y - 4 = 0.
Написать каноническое уравнение кривой и определить ее тип. Найти полуоси, координаты центра симметрии и фокусов кривой.
Решение. Задача сводится к тому, чтобы привести данное уравнение к одному из следующих видов:
или 
.
Первое из этих уравнений определяет эллипс, а второе - гиперболу с центром симметрии в точке О (х 0, у 0), полуосями a, b (для гиперболы a - вещественная полуось). Фокусы таких кривых имеют координаты F 1(x 0 + c, y 0) и F 2(x 0 - c, y 0), где c 2 = a 2 - b 2 (для эллипса, если a - большая полуось) и c 2 = a 2 + b 2 (для гиперболы).
Для решения поставленной задачи выделим полные квадраты в следующих выражениях:
9 x 2 - 36 x = 9(x 2 - 4 x + 4) - 36 = 9(x - 2)2 - 36;
- 4 y 2 - 8 y = - 4(y 2 + 2 y + 1) + 4 = - 4(y + 1)2 + 4.
Подставим теперь полученные выражения в данное уравнение:
9(x - 2)2 - 36 - 4(y + 1)2 + 4 - 4 = 0, или 9(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 36.
Поделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы
.
Отсюда видно, что центр симметрии гиперболы находится в точке О (2, -1), прямые х - 2 = 0,
у + 1 = 0 являются ее осями симметрии. Вещественная полуось гиперболы а = 2, мнимая полуось
b = 3,
.
Получим координаты фокусов 
, 
.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 386 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
