Примеры решения задач и комментарии

Пример 1. Даны координаты вершин треугольника А (0, -2), В (1, 1), С (3, 0). Написать общее уравнение медианы треугольника, опущенной из вершины В.

Решение. Найдем координаты точки М, середины основания АС.

; .

Напишем теперь уравнение прямой ВМ, проходящей через две точки В и М:

; ; .

После элементарных преобразований имеем

, или ,

отсюда .

Получили искомое уравнение медианы.

Пример 2. Даны три точки А (3, 1), В (1, -2), С (3, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.

Решение. Запишем уравнение прямой АВ, проходящей через две точки А и В.

или ,

отсюда .

Разрешая это уравнение относительно переменной у, найдем уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом

.

Угловой коэффициент этой прямой равен .

Из условия перпендикулярности двух прямых получим угловой коэффициент k ₁ прямой, перпендикулярной прямой АВ:

.

Запишем теперь уравнение прямой с данным угловым коэффициентом k ₁ и проходящей через точку С. Воспользуемся формулой

,

отсюда .

После элементарных преобразований получаем требуемое уравнение

.

Пример 3. Дано уравнение второго порядка

9 x ² - 4 y ² - 36 x - 8 y - 4 = 0.

Написать каноническое уравнение кривой и определить ее тип. Найти полуоси, координаты центра симметрии и фокусов кривой.

Решение. Задача сводится к тому, чтобы привести данное уравнение к одному из следующих видов:

или .

Первое из этих уравнений определяет эллипс, а второе - гиперболу с центром симметрии в точке О (х ₀, у ₀), полуосями a, b (для гиперболы a - вещественная полуось). Фокусы таких кривых имеют координаты F ₁(x ₀ + c, y ₀) и F ₂(x ₀ - c, y ₀), где c ² = a ² - b ² (для эллипса, если a - большая полуось) и c ² = a ² + b ² (для гиперболы).

Для решения поставленной задачи выделим полные квадраты в следующих выражениях:

9 x ² - 36 x = 9(x ² - 4 x + 4) - 36 = 9(x - 2)² - 36;

- 4 y ² - 8 y = - 4(y ² + 2 y + 1) + 4 = - 4(y + 1)² + 4.

Подставим теперь полученные выражения в данное уравнение:

9(x - 2)² - 36 - 4(y + 1)² + 4 - 4 = 0, или 9(x - 2)² - 4(y + 1)² = 36.

Поделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы

.

Отсюда видно, что центр симметрии гиперболы находится в точке О (2, -1), прямые х - 2 = 0,
у + 1 = 0 являются ее осями симметрии. Вещественная полуось гиперболы а = 2, мнимая полуось
b = 3,

.

Получим координаты фокусов , .