![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Предположим, что
,
тогда
где, sign 0=0
В самом деле, функция Û(reiѲ) гармонична в единичном круге, Û(0)=0
Кроме того
аналитическая функция в единичном круге
Теперь, если
где мера на [-π;π], то в вышеприведенном разложении функции U в ряд
. Рассматривая разложение в ряд для Û, видим, что
назовем
сопряженным ядром Пуассона. непосредственным суммированием двух геометрических прогрессий найдем, что
Таким образом справедлива теорема
Теорема Если , то гармонически спряженная U функция Û задается формулой
Интегральное представление классов
Важную роль в изучении классов играет интегральное представление функций из этих классов.
Сначала докажем следующее утверждение:
Теорема. Пусть где
– класс Соболева в
. Если при этом существует такое число
, что
и
при
, то при всех
справедливо представление
(2.5)
где, как обычно,
Доказательство. Пусть фиксировано, положим
Тогда, записав формулу Коши-Грина для функции
(см. [31]), имеем:
Используя условие теоремы, получаем:
Упростим подынтегральное выражение:
Следовательно, из равенства (2.5) имеем:
Положив , получаем:
□
Из данной теоремы непосредственно следует:
Теорема Пусть . Тогда если
или
то справедливо представление
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.3, если учесть, что , при этом в условиях теоремы
при
.
□
Из интегрального представления классов вытекает:
Теорема. Пространство при
относительно нормы
является банаховым, а при – квазибанаховым пространством.
Доказательство. Пусть . Обозначим через
пространство измеримых в
функций
, для которых соответствующий интеграл конечен.
Хорошо известно, что пространство при
банахово, а при
квазибанахово. Поэтому достаточно установить, что
является замкнутым подпространством пространства
при всех
.
Предположим, что – последовательность из
, а функция
такая, что
при
.
Докажем, что . Используя оценку (2.1), имеем:
.
Отсюда следует, что последовательность равномерно сходится внутри
к некоторой функции
. Учитывая теорему Ф. Рисса (см. [17]), нетрудно подобрать подпоследовательность
такую, что
почти всюду в
. Поэтому
почти всюду в
, и следовательно,
. □
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 329 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!