Весовое пространство аналитических в круге функций

Пусть обозначим через – класс всех аналитических в функций , для которых

.

Если , мы отождествим с классом ограниченных аналитических в круге функций .

Нетрудно заметить, что условие является необходимым условием для нетривиальности класса .

Если , то определяет норму на пространстве , а если , то – квазинорму на пространстве .

Непосредственно из неравенства Гёльдера следует, что , если и если

В дальнейшем, если не оговорено противное, будем предполагать, что , причем

Следующее утверждение позволяет определить рост модуля функции из класса .

Теорема 1. Пусть , тогда справедлива оценка

(1)

Доказательство. Пусть

.

Очевидно, что В силу субгармоничности функции имеем:

(2)

или

Теперь заметим, что :

. (3)

И

Напомним, что

.

Положив , из последнего неравенства выводим:

Учитывая неравенство (2.2), получаем:

то есть

□

Следствие 1. Пусть , тогда справедлива оценка

(4)

Доказательство непосредственно выводится из теоремы 1. □

При , , для краткости обозначим

Следствие 2. Пусть Тогда если , то

Доказательство. Действительно, если , то, используя оценку (4), непосредственно получаем:

□

Теорема 2. Пусть Тогда справедливо равенство

.

Доказательство очевидно, так как при всех

при этом

.

Докажем данную оценку. Имеем:

В последнем неравенстве мы использовали монотонность функции при Учитывая полученную оценку, имеем:

Поэтому из теоремы 1.7 непосредственно следует утверждение теоремы 2.2. □

2. Интегральное представление классов

Важную роль в изучении классов играет интегральное представление функций из этих классов.

Сначала докажем следующее утверждение:

Теорема 3. Пусть где – класс Соболева в . Если при этом существует такое число , что и при , то при всех справедливо представление

(2.5)

где, как обычно,

Доказательство. Пусть фиксировано, положим

Тогда, записав формулу Коши-Грина для функции , имеем:

Используя условие теоремы, получаем:

Упростим подынтегральное выражение:

Следовательно, из равенства (5) имеем:

Положив , получаем:

□

Из теоремы 3 непосредственно следует:

Теорема 4. Пусть . Тогда если или то справедливо представление

(6)

Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.3, если учесть, что , при этом в условиях теоремы 2.4 при .

□

Из интегрального представления классов вытекает:

Теорема 5. Пространство при относительно нормы

является банаховым, а при – квазибанаховым пространством.

Доказательство. Пусть . Обозначим через пространство измеримых в функций , для которых соответствующий интеграл конечен.

Хорошо известно, что пространство при банахово, а при квазибанахово. Поэтому достаточно установить, что является замкнутым подпространством пространства при всех .

Предположим, что – последовательность из , а функция такая, что при .

Докажем, что . Используя оценку (2.1), имеем:

.

Отсюда следует, что последовательность равномерно сходится внутри к некоторой функции . Учитывая теорему Ф. Рисса (см. [17]), нетрудно подобрать подпоследовательность такую, что почти всюду в . Поэтому почти всюду в , и следовательно, . □