![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть обозначим через
– класс всех аналитических в
функций
, для которых
.
Если , мы отождествим
с классом ограниченных аналитических в круге функций
.
Нетрудно заметить, что условие является необходимым условием для нетривиальности класса
.
Если , то
определяет норму на пространстве
, а если
, то – квазинорму на пространстве
.
Непосредственно из неравенства Гёльдера следует, что , если
и
если
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем предполагать, что , причем
Следующее утверждение позволяет определить рост модуля функции из класса .
Теорема 1. Пусть , тогда справедлива оценка
(1)
Доказательство. Пусть
.
Очевидно, что В силу субгармоничности функции
имеем:
(2)
или
Теперь заметим, что :
. (3)
И
Напомним, что
.
Положив , из последнего неравенства выводим:
Учитывая неравенство (2.2), получаем:
то есть
□
Следствие 1. Пусть , тогда справедлива оценка
(4)
Доказательство непосредственно выводится из теоремы 1. □
При ,
, для краткости обозначим
Следствие 2. Пусть Тогда если
, то
Доказательство. Действительно, если , то, используя оценку (4), непосредственно получаем:
□
Теорема 2. Пусть Тогда справедливо равенство
.
Доказательство очевидно, так как при всех
при этом
.
Докажем данную оценку. Имеем:
В последнем неравенстве мы использовали монотонность функции при
Учитывая полученную оценку, имеем:
Поэтому из теоремы 1.7 непосредственно следует утверждение теоремы 2.2. □
2. Интегральное представление классов
Важную роль в изучении классов играет интегральное представление функций из этих классов.
Сначала докажем следующее утверждение:
Теорема 3. Пусть где
– класс Соболева в
. Если при этом существует такое число
, что
и
при
, то при всех
справедливо представление
(2.5)
где, как обычно,
Доказательство. Пусть фиксировано, положим
Тогда, записав формулу Коши-Грина для функции
, имеем:
Используя условие теоремы, получаем:
Упростим подынтегральное выражение:
Следовательно, из равенства (5) имеем:
Положив , получаем:
□
Из теоремы 3 непосредственно следует:
Теорема 4. Пусть . Тогда если
или
то справедливо представление
(6)
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.3, если учесть, что , при этом в условиях теоремы 2.4
при
.
□
Из интегрального представления классов вытекает:
Теорема 5. Пространство при
относительно нормы
является банаховым, а при – квазибанаховым пространством.
Доказательство. Пусть . Обозначим через
пространство измеримых в
функций
, для которых соответствующий интеграл конечен.
Хорошо известно, что пространство при
банахово, а при
квазибанахово. Поэтому достаточно установить, что
является замкнутым подпространством пространства
при всех
.
Предположим, что – последовательность из
, а функция
такая, что
при
.
Докажем, что . Используя оценку (2.1), имеем:
.
Отсюда следует, что последовательность равномерно сходится внутри
к некоторой функции
. Учитывая теорему Ф. Рисса (см. [17]), нетрудно подобрать подпоследовательность
такую, что
почти всюду в
. Поэтому
почти всюду в
, и следовательно,
. □
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 442 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!