![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема. Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция f (z) — голоморфна в
и
— точка внутри области D. Тогда справедлива следующая формула Коши:
Док-во
. Г
Рассмотрим окружность S ρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z 0. В области, ограниченной контурами Γ и S ρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что не зависимо от ρ имеем равенство:
Для расчёта интегралов по S ρ применим параметризацию. , φ Є
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая f (z) = 1:
Воспользуемся ею для доказательства общего случая:
=
Так как функция f (z) комплексно дифференцируема в точке z 0, то:
Интеграл от равен нулю:
Интеграл от члена o (1) может быть сделан сколь угодно мал при . Но поскольку он от ρ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 431 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!