Формула Коши

Теорема. Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция f (z) — голоморфна в и — точка внутри области D. Тогда справедлива следующая формула Коши:

Док-во

. Г

Рассмотрим окружность S _ρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z ₀. В области, ограниченной контурами Γ и S _ρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что не зависимо от ρ имеем равенство:

Для расчёта интегралов по S _ρ применим параметризацию. , φ Є
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая f (z) = 1:

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

=

Так как функция f (z) комплексно дифференцируема в точке z ₀, то:

Интеграл от равен нулю:

Интеграл от члена o (1) может быть сделан сколь угодно мал при . Но поскольку он от ρ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что