Представление в виде степенного ряда

Пусть U(z) – вещественная функция, гармоническая в круге . Тогда можно построить другую вещественную функцию V(z), гармоническую в , такую что функция

F(z)=U(z)+iV(z)

Является аналитической в этом круге. Такая функция V называется гармонически спряженной с U, а функции U(z) и V(z) – сопряженными гармоническими функциями

U(z)=ReF(z)

F(z) разлагается в степенной ряд , который равномерно сходиться компактных множествах круга

Пусть , тогда

,

где

Таким образом, любая функция U(z), гармоническая в круге , допускает представление в виде ряда

Равномерно сходящегося на компактных подмножествах круга .