 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Параметр в загальному випадку комплексна величина
|
|
(6.11)
і називається хвильовим числом.
Через те, що рівняння (6.10) залежить від однієї координати z, перпендикулярної плоским хвильовим поверхням, то в (6.10) частинні похідні замінимо повними
. (6.13)
Диференційне рівняння (6.13) другого порядку для 
має розв’язок у вигляді суперпозиції двох частинних розв’язків виду
, (6.14)
де 
– довільні сталі інтегрування, які представляють собою комплексні амплітуди, наприклад, 
; які визначаються з граничних умов. Підставивши розв’язок (6.14) в (6.6), отримаємо
, (6.15)
звідки
,
або
. (6.16)
Враховуючи, що 
, тоді (6.16) приймає вигляд
, (6.17)
де
. (6.18)
Величина 
вимірюється в омах і називається характеристичним опором середовища. В загальному випадку величина комплексна. В середовищі без втрат величина дійсна:
. (6.19)
Для вакууму 
,
. (6.20)
Аналогічно виконавши операції, зроблені для 
, можна отримати розв’язок для 
. 
з (6.9) буде дорівнювати
, (6.21)
а 
, використовуючи (6.21) і (6.9) буде дорівнювати
. (6.22)
В середовищі без втрат (
), стала розповсюдження - величина дійсна 
, тоді переходячи від комплексних амплітуд до миттєвих значень, знайдемо
(6.23)
де 
.
Вираз (6.23) описує плоску електромагнітну хвилю, причому 
– її амплітуда, а аргумент косинуса – повна фаза 
змінюється в часі і просторі, а отже, змінюється і положення фазового фронту. Залежність Ex від z в фіксований моменти часу 
та 
зображена на рис. 6.1
Знайдемо швидкість переміщення фронту хвилі, для чого зафіксуємо фазу поля 
і 
. Продиференціювавши ці рівності за часом, отримаємо
.
Звідси фазова швидкість
і 
. (6.24)
Таким чином, складова 
представляє собою суперпозицію двох незалежних одна від одної рухомих хвиль, одна з яких 
розповсюджується в напрямку зростаючих значень z з фазовою швидкістю 
, і називається падаючю, а інша – в напрямку зменшення значень z зі швидкістю 
– і називається відбитою.
Рисунок 6.1
Рисунок 6.2
Поки що, будемо розглядати тільки падаючу хвилю, тому можна записати, опускаючи знак “+”, що
. (6.25)
Для вакууму
– швидкість світла. (6.27)
З (6.25) слідує співвідношення, яке зв’язує хвильове число та частоту у вільному просторі
, (6.28)
враховуючи, що 
.
Вираз (6.28), називається сталою розповсюдження електромагнітної хвилі у вільному просторі 
.
Використовуючи форму запису (6.23) переходу від комплексних амплітуд до миттєвих значень складової , можна представити інші компоненти поля 
у вигляді
(6.29)
. (6.30)
Отже, електромагнітне поле (6.23) і (6.29) представляє собою суперпозицію чотирьох незалежних рухомих хвиль, які визначаються і 
, 
і 
, 
і 
, 
і 
. Однорідні плоскі рухомі хвилі (6.23) і (6.29) розповсюджуються вздовж осі z, яка перпендикулярна їхнім хвильовим площинам. Згідно з (6.30) вектори 
і 
цих хвиль лежать в хвильових площинах і представляють собою поперечні складові векторів поля по відношенню до напрямку розповсюдження.
Якщо, зокрема, амплітуда падаючої і відбитої хвиль рівні одна одній і дорівнюють початковій фази, то отримуємо стоячу хвилю. Наприклад, для 
складової:
,
використовуючи відому тригонометричну тотожність
,
отримуємо
. (6.31)
Як видно (рис. 6.3) в кожний момент часу маємо нерухому косинусоїду: її нулі не зміщуються вздовж осі z, а залишаються фіксованими. Отже, все сказане можна стисло записати рівняннями, які зв’язують компоненти поля плоскої хвилі, для середовища з втратами
, (6.32)
. (6.33)
Розповсюдження хвилі супроводжується переносом потужності. Комплексний вектор Пойнтинга має тільки дійсну частину
, (6.34)
де
. (6.35)
При довільному напрямку розповсюдження електромагнітної хвилі вздовж r, розв’язок рівняння Гемгольца можна записати
, (6.36)
де 
– радіус-вектор довільної точки спостереження;
– хвильовий вектор, перпендикулярний до хвильового фронту.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 568 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
