 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Векторний та скалярний потенціали. Вектор Герца
|
|
Хвильові рівняння (5.13), отримані в (5.1) застосовуються для визначення векторів електромагнітного поля, як правило, у випадку, якщо відсутні сторонні джерела, тобто коли ці рівняння однорідні – праві частини дорівнюють нулю. Якщо рівняння неоднорідні, тобто присутні праві частини, то розв’язок цих рівнянь ускладнено. Це пояснюються тим, що стороні струми і заряди входять в ці рівняння під знаком диференціальних операторів (
).
Тому в електродинамці, для спрощення розв’язку практичних задач, вводять допоміжні функції, а потім через них обчислюють вектори 
і 
. Ці функції зв’язані з векторами і простими співвідношеннями, для яких праві частини рівнянь (5.13) мали не 
і , а самі стороні заряди 
і стороні струми 
.
Такі допоміжні функції називаються електродинамічними потенціалами (скалярний потенціал 
, векторний потенціал 
).
У випадку гармонічних полів, рівняння Максвела мають вигляд:
(5.18)
Отримаємо рівняння для векторного потенціалу . Для цього скористаємося 
четвертим рівнянням Максвела в системі (5.18). Так як дивергенція ротора будь якого вектора дорівнює нулю (
), то з четвертого рівняння Максвела слідує, що вектор можна представити у вигляді ротора деякого вектора :
(5.19)
Векторну функцію називають векторним електродинамічним потенціалом.
Підставимо рівність (5.19) в друге рівняння Максвела в (5.18):
або
(5.20)
З векторного аналізу відомо, що 
, де – будь-яка скалярна функція. Тому можна покласти, що
звідки
(5.21)
Скалярну функцію в (5.21) називають скалярним потенціалом. Знак “мінус” в (5.21) показує, що у випадку електростатичного поля функція співпадає з звичайним виразом для електростатичного потенціалу.
Підставляємо (5.19) і (5.21) в перше рівняння Максвела в системі (5.18):
. (5.22)
Помножимо (5.22) на 
і скористаємося векторною тотожністю
(5.23)
для перетворення лівої частини рівності (5.22):
,
або
(5.24)
В вираз (5.24) входять дві невідомі функції і . Але, якщо накласти додаткову умову, яка пов’язуює потенціали і , яка називається умовою калібровки:
(5.25)
то отримуємо рівняння відносно векторного потенціалу :
(5.26)
Аналогічне рівняння можна отримати для скалярного потенціалу . Для цього необхідно підставити вираз для вектору з (5.21) в третє рівняння Максвела в (5.18):
або
(5.27)
Використовуючи умову калібровки (5.25) 
і тотожність 
, приходимо до рівняння для скалярного потенціалу :
(5.28)
Таким чином, векторний 
і скалярний 
потенціали, як і вектори і 
задовольняють неоднорідним рівнянням Гельмгольца. Однак праві частини рівнянь для потенціалів (5.26) і (5.28) мають більш простий вигляд.
Умова калібровки (5.25) дозволяє виразити скалярну функцію через векторний потенціал :
(5.29)
Щоб встановити зв’язок поля з джерелом випромінювання, необхідно розв’язати рівняння (5.26) і (5.28). Найдемо частині розв’язки, вважаючи функції і 
відомими в деякому об’ємі 
.
Згідно методу комплексних амплітуд множення на величину 
еквівалентне диференціюванню за часом 
, то рівняння (5.26) і (5.28) можна переписати у вигляді:
(5.30)
(5.31)
Щоб знайти розв’язок (5.30) і (5.31) необхідно розглянути більш просту задачу доля статичного випадку. Будемо вважати, що 
, а 
, аналогічно 
, 
. Хвильові рівняння (5.30) і (5.31) вироджуються в рівняння Пуассона [3]:
(5.32)
(5.33)
Розв’язки цих рівнянь детально приведені в [3]. Тут скористаємося кінцевим результатом:
(5.34)
Цими формулами можна користуватися при квазістационарних процесах тобто процесах, які повільно змінюються за часом. Якщо 
і 
швидко змінюються, то необхідно враховувати запізнювання процесу при розповсюджені. Поле в точці спостереження Мбуде визначатися не за значенням 
і 
в даний момент часу а більш ранніми значеннями 
і 
, де 
, тобто це час, за який поле розповсюдилось від джерела до точки спостереження. Якщо опустити суворе доведення розв’язку, з яким можна детально ознайомитися в [3], то розв’язки можна визначити як
(5.35)
де і 
зв’язані рівнянням неперервності:
Формули (5.35) називаються запізнювальними потенціалами.
Для гармонічного за часом процесу замість
під знаком інтегралів (5.35), необхідно записати
або
де 
– стала розповсюдження у вільному просторі.
Якщо вважать, що середовище з втратами, то в комплексній формі вирази для амплітуд запізнювальних потенціалів 
і 
будуть мати вигляд
(5.36)
(5.37)
де 
– комплексна амплітуда вектора 
;
– комплексна амплітуда скалярного потенціалу 
;
r – відстань від елементарного об’єму 
до точки спостереження М;
– комплексна стала розповсюдження.
Вирази (5.36) і (5.37) являються частинними розв’язками рівнянь (5.30) і (5.31) і представляють собою сферичні хвилі, які розходяться від джерела. Фронт хвилі – кульова поверхня, радіус якої зростає з швидкістю V.
Часто для наближених розрахунків об’ємне розподілення зарядів і струмів замінюють їх поверхневим розподілом 
. В цьому випадку
(5.38)
У випадку лінійного стороннього струму 
, комплексна амплітуда векторного потенціалу 
буде виражатися формулою:
(5.39)
Крім електродинамічних потенціалів і , використовують інші потенціали, наприклад, вектор Герца (
). Цей вектор зв’язаний з потенціалами і співвідношеннями
(5.40)
Хвильове рівняння для комплексного вектора Герца [3] буде мати вигляд:
(5.41)
Комплексна амплітуда вектора Герца (
) в результаті розв’язку рівняння (5.41) буде дорівнювати
(5.42)
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 771 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
