Теорема о существовании и единственности решения Задачи Коши (3.2),(3.4). 3 страница

3.15). Решить уравнение .

Решение. Сначала решим соответствующее однородное уравнение: . Его характеристическое уравнение , или , имеет корни . Поэтому общее решение однородного уравнения записывается так: . Так как число не является корнем характеристического уравнения, то в соответствии с разделом II (1) Таблицы 3 частное решение данного уравнения имеет вид . Для нахождения коэффициентов , и подставим эту функцию и ее производные в исходное уравнение. Сократив обе его части на , имеем .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов и

,

решая которую, находим , , . Итак, . По формуле (3.27) общее решение .

3.16). Решить уравнение .

Решение. Соответствующее однородное уравнение: . Его характеристическое имеет корни (Таблица 2, раздел 3). Поэтому . По виду правой части, так как и числа нет среди корней характеристического уравнения, частное решение записывается так . Подставляя эту функцию и ее вторую производную в исходное уравнении, получим . Отсюда , а значит . Общее решение данного уравнения имеет вид .

3.17) Решить уравнение .

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, выглядит так . Его характеристическое имеет корни . Поэтому (Таблица 2, раздел 3). По виду правой части, где и числа нет среди корней характеристического уравнения (Таблица 3, IV(1)), записываем частное решение неоднородного уравнения .

Подставляя эту функцию и ее производные в исходное уравнение, получим

. Отсюда ; . Значит

. Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид .

Задания для самостоятельного решения.

3.53. . 3.54. .

3.55. . 3.56. .

3.57. . 3.58. . 3.59. ..

3.60. . 3.61. .

3.62. . 3.63. .

Ответы

3.53. . 3.54. 3.55. . 3.56. . 3.57. . 3.58.

3.59. .

3.60. . 3.61. .

3.62. . 3.63. .

Контрольная работа № 3. Дифференциальные уравнения.

1.- 8. Определить тип и найти общие решения следующих дифференциальных уравнений.

1. Решить задачу Коши.

3. Решить методом вариации произвольной постоянной.

4. Решить методом подстановки.

6. Решить уравнение, понижая его порядок.

8. Получить общее решение уравнения, записав вид его частного решения с неопределенными коэффициентами, не вычисляя их.

Вариант 1.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 2.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 3.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 4.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 5.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 6.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 7.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 8.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 9.

1. 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 10.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 11.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 12.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 13.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 14.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 15.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 16.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 17.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 18.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 19.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 20.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 21.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 22.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 23.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 24.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 25.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 26.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 27.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 28.

1. . 2. . 3. .