Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Как отмечалось в разд. 2, критерием оптимальности демодулятора является минимум полной вероятности ошибки решения относительно канального символа Р ош. Но для пользователей количественной мерой помехоустойчивости цифровой системы передачи является вероятность ошибки бита р. В двоичных системах передачи вероятности Р ош и р совпадают. В случае многоуровневых видов модуляции сначала находят Р ош, затем рассчитывают р, зная модуляционный код.
В.А. Котельников ввел термин «потенциальная помехоустойчивость приема» – это максимальная помехоустойчивость, которую обеспечивает оптимальный демодулятор. В сущности, это помехоустойчивость используемого модулированного сигнала при заданных характеристиках канала связи.
Анализ вероятности ошибки начнем из рассмотрения одномерных двоичных сигналов. Воспользуемся результатами, полученными в разд. 2. На рис. 2.1, б для одномерного двоичного сигнала показаны сигнальное созвездие и условные плотности вероятности оценки . Было сформулировано правило вынесения решения по результатам сравнения оценки с граничным значением l: если > l, то передавался символ s 1(t), а если < l, то передавался символ s 0(t). Оптимальное значение l находится посредине между а 1 и а 0:
l = 0,5(а 1 + а 0). (11.1)
При этом вероятности ошибок при передаче сигналов s 0(t) и s 1(t) одинаковы и определяются выражением
. (11.2)
Условная плотность вероятности имеет нормальное распределение вероятностей со средним значением, равным a 0. С учетом этого (11.2) запишется
, (11.3)
где sz – СКО шума на выходе согласованного фильтра, определенное раньше соотношением (5.14).
Примем к рассмотрению расстояние между сигналами
d = (а 1 – а 0). (11.4)
Из соотношений (11.1) и (11.4) получим
l = а 0 + 0,5 d (11.5)
С учетом (5.14) и (11.5) соотношение (11.3) дает вероятность ошибки канального символа в двоичной системе передачи
. (11.6)
Из определения гауссовой Q -функции следует, что, чем большее значение аргумента, тем меньшее значение функции Q (z). Вероятность ошибки канального символа (11.6) будет уменьшаться при увеличении расстояния между сигналами d и уменьшении удельной мощности шума N0 на входе демодулятора.
Дальше задача заключается в том, чтобы выразить расстояние между сигналами в (11.6) через физические параметры сигнала, действующего на входе демодулятора. Такими параметрами являются: средняя мощность модулированного сигнала Ps и скорость цифрового сигнала R или обратная к ней величина – длительность двоичного символа Т б = 1/ R.
Упражнение 11.1. Найдем вероятность ошибки для одномерных двоичных сигналов ФМ-2 и АИМ-2. На рис. 11.1 приведены созвездия сигналов ФМ‑2 и АИМ-2. Поскольку базисная функция нормирована, то выполняется равенство (5.12), и Е б = а 2. Отсюда d = 2 а = 2 . Вероятность ошибки бита определяется
, (11.7)
где – отношение сигнал/шум.
Упражнение 11.2. Найдем вероятность ошибки для двоичного сигнала АМ-2. На рис. 11.2 приведено созвездие сигнала АМ-2. Поскольку базисная функция нормирована, то выполняется равенство (5.12), и Е 1 = а 2, а Е 0 = 0. Е б = 0,5(Е 1 + Е 0) = 0,5 а 2. Отсюда d = а = .
Вероятность ошибки бита определяется
. (11.8)
Перейдем к многопозиционным системам передачи, т.е. М > 2. Если канальные символы равновероятны, то вероятность ошибки канального символа определяется
. (11.9)
где P ош(si, sj) – вероятность ошибки в двоичной системе, использующей сигналы si и sj, а ошибка состоит в вынесении решения о передаче , если было передано si. Чтобы упростить расчеты, учитывают переходы лишь в ближайшие сигналы (это допустимо при высоких отношениях сигнал/шум, которые соответствуют вероятности ошибки Р ош < 10–2). Переход от ошибки канального символа Р ош к ошибке двоичного символа р выполняется легко, если используется модуляционный код Грея:
. (11.10)
Упражнение 11.3. Найдем вероятность ошибки для многопозиционных одномерных сигналов АМ- М и АИМ- М. На рис. 11.3 приведены созвездия сигналов АМ-4 и АИМ-4. Аналогично строятся созвездия при М > 4. Задачу будем решать для произвольного М (М – целая степень числа 2).
Коэффициенты аі принимают значения . Определим среднюю энергию канального символа
. (11.11)
Учтем, что
d = 2 a и . (11.12)
На основе (11.11) и (11.12) получим выражение для квадрата расстояния
. (11.13)
При анализе вероятности ошибки достаточно учесть переходы лишь в ближайшие канальные символы, поэтому
. (11.14)
Учитывая (11.10), (11.13) и (11.14) получим выражение вероятности ошибки двоичного символа
. (11.15)
Контрольные вопросы
1. Запишите и объясните формулу вероятности ошибки канального символа в двоичной системе передачи.
2. Объясните, что представляет собой величина .
3. Объясните, какие упрощения допускают при анализе помехоустойчивости многопозиционных сигналов.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1663 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!