Согласованный фильтр при небелом шуме

Есть сумма сигнала и помехи z (t) = s (t) + n (t). Сигнал s (t) детерминированный, помеха n (t) характеризуется спектральной плотностью мощности G_n (w), –¥ < w < ¥, которая не является постоянной величиной. Необходимо найти передаточную функцию фильтра H (j w), согласованного с сигналом s (t), т.е. фильтр, который обеспечивает максимальное отношение сигнал/помеха в отсчетный момент.

Из разд. 4 известна передаточная функция согласованного фильтра при белом шуме:

. (7.1)

Воспользуемся этим результатом. Пропустим сигнал z (t) через обеляющий фильтр с передаточной функцией H ₁ (j w). Найдем АЧХ обеляющего фильтра, который преобразует помеху с неравномерным спектром в белый шум:

, (7.2)

где N ₀/2 – удельная мощность белого шума.

Пусть S (j w) – спектральная плотность сигнала s (t). После обеляющего фильтра спектральная плотность полезного сигнала s ₁(t) определяется S (j w) H ₁(j w). На основе соотношения (7.1) запишем передаточную функцию фильтра, согласованного с сигналом s ₁(t)

. (7.3)

Каскадно соединенные обеляющий фильтр и фильтр, согласованный с сигналом s ₁(t), образуют согласованный фильтр при небелом шуме с передаточной функцией

. (7.4)

После подстановки выражения для ï H (j w)ï² с соотношение (7.2) получим (множитель N ₀/2 отнесем к произвольному коэффициенту с):

. (7.5)

Из полученного выражения следует, что значение АЧХ СФ при небелом шуме в сравнении со значениями АЧХ СФ при белом шуме меньше на тех частотах, на которых удельная мощность помехи больше. Требования к ФЧХ СФ при небелом шуме такие же, как и требования к ФЧХ СФ при белом шуме.

Отметим, что реализация СФ при небелом шуме не требует использования обеляющего фильтра. Обеляющий фильтр необходим для выполнения выкладок (7.2) – (7.5).

Контрольные вопросы

1. Что такое обеляющий фильтр?

2. Запишите и объясните формулу АЧХ обеляющего фильтра.