Устойчивость систем автоматического регулирования

Понятие об устойчивости САР. Динамические свойства систем автоматического регулирования отражаются в переходных процессах. Обычно наибольший интерес представляют зависимости φ = f(t) регулируемого параметра от времени, которые можно определить решением (получением общего интеграла) дифференциального уравнения САР.

Общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (7.8) и, следовательно, математическое выражение переходного процесса системы находится в виде суммы решений

φ = φ₁ (t) + φ₂ (t) (7.35)

где φ₁ = f₁ (t) - общее решение однородного дифференциального уравнения D (p) φ =0, например, вида

(7.36)

и φ₂ = f₂ (t) - частное решение неоднородного уравнения, например, уравнения (7.10).

Решение однородного уравнения имеет вид:

φ₁ = Се^pt (7.37)

где С и р – некоторые постоянные величины.

Подставляя выражение (7.37) в уравнение (7.36), найдем характеристическое уравнение:

7.38)

Используя полученное соотношение, общий интеграл уравнения (7.36) можно представить в виде суммы трех его составляющих:

(7.39)

где р_i являются корнями уравнения (7.38), которые могут быть как действительными положительными или отрицательными величинами, так и комплексными сопряженными. В последнем случае общему интегралу (7.39) можно придать тригонометрическую форму. Если уравнение (7.38) имеет один действительный корень р₁ и два комплексных сопряженных р₂₃ = α ± iΩ, то общий интеграл с помощью формул Эйлера (6.32) приводится к виду

(7.40)

где и

Переходные процессы САР могут быть сходящимися и расходящимися. Сходящимися они являются тогда, когда нарушенный равновесный режим с течением времени восстанавливается, т.е. если φ₁(t) → 0 при t → +∞.

Если же среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один действительный положительный корень или пара комплексных сопряженных корней с положительной действительной частью, то первоначальное отклонение φ₀ будет увеличиваться во времени. Такие переходные процессы и их составляющие называются расходящимися.

Критерии устойчивости Рауза – Гурвица. Для суждения об устойчивости САР необходимо выяснить лишь алгебраические знаки корней характеристического уравнения. В связи с этим возникла идея отыскания таких условий и признаков, по которым можно было бы судить об устойчивости системы регулирования, не прибегая к решению характеристического уравнения.

В период 1873 – 1877 гг. математик Рауз нашел необходимые и достаточные условия получения отрицательных значений действительной части корней характеристических уравнений n-й степени в виде неравенств, составленных из коэффициентов уравнения. В 1895 г. А. Гурвиц также нашел условия сходимости переходных процессов и представил их в детерминантной форме. Так как раскрытие детерминантов Гурвица приводит к неравенствам Рауза, указанные критерии позже стали называть критериями сходимости (устойчивости) Рауза – Гурвица.

В соответствии с теоремой Виета характеристическое уравнение (7.38) при известных корнях р₁, р₂, р₃,можно представить в виде:

(7.41)

Если все корни – отрицательны, это произведение примет вид:

(7.42)

или после раскрытия скобок:

(7.43)

Так как в рассматриваемом случае в произведении (7.42)отрицательных величин нет, то коэффициенты уравнения (7. 43) могут быть только положительными.

Если сравнить уравнения 7.38) и (7.43), то А₂/А₃ =f₂(p_i); A₁/A₃=f₁(p₁); A₀/A₃=f₀(p_i), Поэтому необходимым условием устойчивости САР являются положительные значения всех входящих в уравнение коэффициентов (т.к. А₃ всегда больше нуля)

(А₂/А₃) > 0; (A₁/A₃) > 0; (A₀/A₃) > 0 (7.44)

Кроме того, можно показать, что еще одним дополнительным условием устойчивости применительно к уравнению (7.38) является соотношение:

(7.45)

где Δ – называется «детерминант Гурвица»

Критерии устойчивости Рауза – Гурвица дают возможность выяснить влияние на устойчивость тех или иных параметров САР. Пусть, например, переходные процессы двигателя описываются линейным дифференциальным уравнением (7.10) с коэффициентами (7.11). Эта САР оказывается устойчивой только при положительных знаках коэффициентов и при выполнении условия (7.45). После подстановки выражений (7.11) детерминант (7.45) получит вид

(7.46)

откуда

(7.47)