Частотные характеристики САР

Разомкнутые системы. Для получения разомкнутой системы элементов необходимо замкнутую цепь воздействия САР «разорвать».

Рис. 7.3 Структурная схема разомкнутой САР прямого действия при α_р ≠ 0 и α_d ≠ 0

На рис 7.3, показана структурная схема разомкнутой системы прямого регулирования, входной координатой φ_вх которой является угловая скорость валика регулятора, отсоединенного от двигателя, а выходной φ_вых – угловая скорость вала двигателя. При отсутствии внешних возмущений уравнения элементов для рассматриваемого случая имеют вид:

(7.12)

При χ = η (главная отрицательная обратная связь в разомкнутой системе отсутствует) совместное решение уравнений дает:

(7.13)

или с учетом выражения (7.9):

(7.14)

где собственный оператор разомкнутой системы.

Пусть входная координата системы изменяется по закону косинуса. Тогда в соответствии с принципом суперпозиции можно принять, что

(7.15)

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (7.14) в этом случае можно найти в форме

(7.16)

Подстановка выражений (7.15) и (7.16) в уравнение (7.13) дает математическое выражение амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы:

(7.17)

или в результате сопоставления с выражениями (1.29) и (6.16)

(7.18)

Таким образом, амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы находят перемножением соответствующих характеристик ее элементов. Так как - комплексная величина, то:

(7.19)

где x(Ω), y(Ω) соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики разомкнутой системы. Эти характеристики можно построить по вещественным и мнимым частотным характеристикам элементов, входящих в САР. Например, в соответствии с формулой (7.18) можно написать:

(7.20)

откуда:

(7.21)

(7.22)

Задаваясь различными значениями Ω и подсчитывая координаты x(Ω) и y(Ω) строят амплитудно-фазовые частотные характеристики разомкнутых систем.

Амплитудно-фазовые частотные характеристики элементов можно также представить в виде выражений (2.22) и (6.51), подстановка которых в формулу (7. 18) дает:

(7.23)

где

(7.24)

(7.25)

Таким образом, вектор Y (iΩ) разомкнутой системы любого числа элементов, последовательно воздействующих один на другой, определяют перемножением векторов отдельных элементов. При этом амплитуды (модули) перемножаются, а фазы (аргументы) складываются.

Замкнутые системы. Частотные характеристики замкнутых САР получают при гармонических колебаниях одной из координат возмущающих воздействий на систему, т.е. α_р или α_д, вызывающих результирующие гармонические колебания регулируемого параметра φ. Для получения амплитудно-фазовых частотных характеристик замкнутых САР необходимо использовать дифференциальное уравнение замкнутой системы, например уравнение (7.8), и разделить все члены уравнения на собственный оператор. Если, например, α_р = 0 и α_д ≠ 0 (рис. 7.4,а), тогда амплитудно-фазовая частотная характеристика замкнутой системы по возмущающему воздействию α_д после подстановки р = iΩ получит вид:

(7.26)

Рис. 7.4 Структурные схемы САР прямого регулирования двигателя:

а – с возмущающим воздействием; b – с управляющим воздействием.

Если, наоборот, α_р ≠ 0 и α_д = 0 (рис. 7.4, б), то система воспринимает управляющие воздействия, и тогда:

(7.27)

Деление числителя и знаменателя правой части этого выражения на дает:

(7.28)

где амплитудно-фазовой частотная характеристика разомкнутой системы

Амплитудно-фазовая частотная характеристика замкнутой САР является комплексной величиной:

(7.29)

где x_ω(Ω) = f(Ω) – вещественная и y_ω(Ω) = f(Ω) – мнимая частотные характеристики.

С учетом выражений (7.19, 7.28, 7.29) можно получить:

(7.30)

(7.31)

Амплитудно-фазовые частотные характеристику можно также представить в виде:

(7.32)

где

(7.33)

(7.34)

При заданном значении частоты Ω возмущающего воздействия по формулам (7.30) и (7.31) можно подсчитать значения и построить вещественную и мнимую частотные характеристики, а также амплитудно-фазовую частотную характеристику W (iΩ) замкнутой системы регулирования (рис. 7.5).

Рис. 7.5 Амплитудно-фазовая частотная характеристика замкнутой САР двигателя.