Дифференциальное уравнение механического регулятора прямого действия (чувствительного элемента)

При неизменном скоростном режиме работы регулятора (см. рис. 4.4) муфта 5 чувствительного элемента неподвижна, так как находится в статическом равновесии, определяемом уравнением (4.6). Поршень 10 катаракта 11 занимает положение, при котором пружина 9 не нагружена.

При нарушении статического равновесия поддерживающая сила получает приращение , вызывающее перемещение ∆z муфты 5. В результате деформации пружины 4 восстанавливающая сила Е получает приращение АЕ и появляется усилие F_A пружины 9, приложенное к точке А рычага 7.

Кроме перечисленных сил в процессе движения на муфту 5 действуют силы трения. Силу трения без смазочного материала можно не учитывать из-за применения обильной смазки, подшипников качения и вибрации корпуса регулятора при работе двигателя, нарушающей контакты между трущимися поверхностями. Сила гидравлического трения F_r определяется в виде соотношения

(6.1)

где υ - коэффициент пропорциональности, называемый фактором торможения, численное значение которого зависит от числа сопрягающихся при движении поверхностей трения и качества их смазки; d(∆z)/dt - скорость перемещения муфты.

Если известна приведенная к муфте масса µчувствительного элемента и связанных с муфтой деталей регулятора и топливного насоса, то уравнение динамического равновесия механического чувствительного элемента, написанное в соответствии с принципом Даламбера, с учетом уравнения (4.6) получит вид

(6.2)

где - передаточное отношение механизма, связывающего вал двигателя с валиком регулятора.

Так как - функция двух переменных, то

(6.3)

что справедливо при достаточно малом отклонении ∆ω от положения равновесия. Приращение ∆А зависит только от перемещения ∆z муфты (см. п. 4.1, фрагмент «поддерживающая сила»), поэтому с учетом линеаризации

∆А = (dA/dz) ∆z. (6.4)

Значение восстанавливающей силы Е зависит от положения z муфты 5 чувствительного элемента (см. рис. 4.4) и от положения ψ тарелки 3, определяемого положением рычага управления 2. Следовательно, Е = f (z; ψ) и тогда после линеаризации

(6.5)

Усилие F_A, создаваемое катарактом 11, зависит от деформации пружины 9. Если ∆Н - перемещение точки A, ∆у_к - перемещение поршня 10, а b_к - жесткость пружины 9, то при известном передаточном отношении и_А рычага 7, связывающего перемещения муфты 5 и точки A рычага,

(6.6)

Подстановка выражений (6.3)-(6.6) в уравнение (6.2) и введение относительных отклонений

(6.7)

с учетом соотношения (4.4) приводит это уравнение к виду

(6.8)

где F_p - фактор устойчивости чувствительного элемента, определяемый выражением (4.9).

Разделив все члены уравнения на коэффициент при φ, получим

(6.9)

где - время чувствительного элемента, характеризующее его инерционность;

- время катаракта, характеризующее силы гидравлического трения регулятора;

- местная степень неравномерности (4.11); - передаточное отношение; - относительная жесткость пружины катаракта;

- коэффициент усиления по настройке скоростного режима.

В операторной форме уравнение чувствительного элемента (6.9) имеет вид

(6.10)

где собственный оператор элемента

(6.11)

Упругоприсоединенный катаракт 11 (см. рис. 4.4) создает в механизме регулятора еще одну степень свободы, но им оборудуют только прецизионные регуляторы, к которым предъявляют требования высокой точности поддержания заданного скоростного режима при малом значении степени неравномерности. К всережимным регуляторам такие высокие требования не предъявляются, поэтому большинство регуляторов прямого действия не имеют упругоприсоединенного катаракта, что равносильно равенству нулю жесткости b_к пружины катаракта. В этом случае θ_п = 0 и тогда дифференциальное уравнение (6.9) получает вид:

(6.12)

или в операторной форме записи:

(6.13)

где собственный оператор регулятора:

(6.14)

Введение в уравнение передаточных функций:

(6.15)

где:

и (6.16)

позволяет построить структурную схему всережимного регулятора без упругоприсоединенного катаракта (Рис. 6.1)

Рис. 6.1 Структурная схема регулятора частоты вращения.

При равновесном режиме , поэтому уравнение (6.12) для выбранной настройке регулятора (α_р = 0) получит вид:

(6.17)

представляющее собой уравнение статического равновесия муфты чувствительного элемента.

6.2. Переходные процессы со ступенчатым изменением частоты вращения

Переходные процессы автоматического регулятора прямого действия (и чувствительного элемента регулятора непрямого действия), описываемые дифференциальным уравнением:

(6.18)

могут возникнуть в результате внешнего возмущающего воздействия в виде изменения значения регулируемого параметра φ или настройки α_р регулятора.

В соответствии с принципом суперпозиции выберем в качестве возмущения ступенчатое изменение частоты вращения валика регулятора так, что φ = 0 при t ≤ - 0 и φ = φ_в = const при t > + 0. При этих условиях уравнение (6.12) при неизменной настройке регулируемого режима (α_р = 0) получит вид

(6.19)

Решение такого неоднородного уравнения ищется в виде суммы:

(6.20)

где η_од – общее решение однородного уравнения; η_в – частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение, которое получается при «занулении» правой части (6.19):

(6.21)

имеет общее решение в виде:

(6.22)

где С₁ и С₂ – константы интегрирования, зависящие от начальных условий; p₁ и p₂ - корни характеристического алгебраического уравнения:

(6.23)

получаемого после подстановки в уравнение (6.22) выражения ηСе^pt. Решение характеристического уравнения имеет вид

(6.24)

где .

Частное решение η_в неоднородного уравнения находят в форме правой части, поэтому: . Тогда общий интеграл уравнения (6.19) получается в виде суммы:

(6.25)

Для определения значений констант интегрирования С₁ и С₂ необходимо задать 2 начальных условия. Можно считать, что при t = +0 (т.е. после ступенчатого увеличения числа оборотов двигателя) муфта оставалась неподвижной (η (0) = 0) при «нулевой» начальной скорости . Тогда, подставляя t = 0 в формулу (6.25), получим:

(6.26)

Дифференцируя (6.25) имеем:

(6.27)

Подставляя t = 0 в формулу (6.27), и учитывая ,получим уравнение:

(6.28)

Наконец, решая систему (6.26) и (6.28) найдем:

(6.29)

С учетом соотношений (6.29) общий интеграл (6.25) приводится к виду

(6.30)

Характер переходного процесса для выбранных конструктивных параметров и определяется временем катаракта Т_к. Действительно, если силы гидравлического трения в механизме регулятора велики и выполняется условие S > 0 (т.е. ), то оба корня p₁ и p₂ характеристического уравнения оказываются вещественными отрицательными числами, причем . В этом случае переходные процессы, описываемые общим интегралом (6.25), являются апериодическими.

Если же параметры регулятора подобраны так, что выполняется условие S < 0, то корни характеристического уравнения (6.23) становятся комплексно - сопряженными:

(6.31)

где

С учетом формул Эйлера:

(6.32)

и выражений (6.31) общий интеграл (6.25) при S < 0 примет вид

(6.33)

где

и (6.34)

Если же при больших значениях (при большей инерционности регулятора) или при малых значениях T_к выполняется условие S < 0, переходные процессы становятся колебательными с увеличением времени переходного процесса. Увеличение или T_к приводит также к увеличению периода колебаний, определяемого отношением:

(6.35)

На переходный процесс существенное влияние оказывают силы трения. Если в регуляторе они окажутся существенно малыми, (T_к → 0), то в этом случае уравнение (6.19) принимает вид:

(6.36)

Рис. 6.2 Переходные процессы в автоматических регуляторах:

1 - 2 – апериодические(S > 0); 3 - колебательный (S < 0)

Такое уравнение описывает незатухающий колебательный процесс с постоянной амплитудой и периодом колебаний:

(6.37)

где Ω₀ – частота собственных незатухающих колебаний.