Частотные характеристики автоматического регулятора

Динамические свойства автоматического регулятора прямого действия характеризуются дифференциальным уравнением (6.18) второго порядка, которое при неизменной настройке (α_р = 0) имеет вид уравнения (6.19). Следовательно, передаточная функция (6.16) регулятора определяется соотношением

, (6.38)

которое с учетом условия p = iΩ дает выражение амплитудно-фазовой частотной характеристики:

. (6.39)

Так как , то, умножив и разделив отношение (6.39) на разность , можно получить формулы вещественной

(6.40)

и мнимой

(6.41)

частотных характеристик регулятора.

Если в выражении (6.40) вынести за скобки , то с учетом формулы (6.37) получим

(6.42)

Эта формула показывает, что при и при значение , а при определяется соотношением: . Следовательно, зависимости имеют экстремальные значения, определяемые из условия: по зависимости:

(6.43)

Рис 6.3 (8.5)???

A) b)

С)

Рис. 6.3 Частотные характеристики автоматических регуляторов при Т_к (1) < Т_к (2) < Т_к(3):

а) амплитудные; b) фазовые: с) амплитудно - фазовые

Выражение (6.41) мнимой частотной характеристики с использованием понятия Ω₀ можно привести к виду:

(6. 44)

Эти зависимости также имеют экстремальные значения:

(6.45)

Переходя к полярным координатам (по аналогии с п.2.3) имеем:

(6.46)

и

(6.47)

Подстановка в эти уравнения выражений (6.42) и (6.44) дает следующие соотношения:

; (6.48)

. (6.49)

Математическое выражение (6.48) представляет собой амплитудную частотную характеристику автоматического регулятора прямого действия (рис. 6.3,а в), а выражения (6.49) – фазовую частотную характеристику (рис. 6.3,b) того же регулятора.

Если угловая скорость вала регулятора при t = +0 изменилась ступенчато на конечную величину от φ_в = 0 до φ_в = 1,0 и оставалась затем постоянной, то частота ее колебаний Ω = 0. Тогда в соответствии с формулой (6.48) амплитудная частотная характеристика (см. рис. 6.3, a) дает значение перемещения 1/δ_z муфты регулятора в новое положение в результате переходного процесса (см., например, рис. 6.2).

При Ω = Ω₀ (при резонансе) и при T_к = 0 амплитудная частотная характеристика имеет разрыв и распадается на две ветви. При Т_к ≠ 0 амплитуда при некоторой частоте достигает экстремума. Расположение экстремальных значений амплитуды при различных Т_к определяется из условия

(6.50)

и приводится к зависимости максимумов амплитуд: .

Фазовая частотная характеристика (см. рис. 6.3,b), определяемая выражением (6.49), при Т_к = 0 в пределах 0 ≤ Ω ≤ Ω₀ совпадает с осью абсцисс (сдвига фазы нет). При переходе через резонансное значение (Ω = Ω₀) сдвиг фазы становится равным −π и при дальнейшем увеличении Ω остается без изменения. В случае Т_к ≠ 0 и при резонансе имеет место всегда один и тот же сдвиг фаз, равный −π/2. По мере увеличения Т_к изменение сдвига фаз становится все более плавным.

По известным вещественной (6.42) и мнимой (6.44) или амплитудной (6.48) и фазовой (6.49) частотным характеристикам регулятора строятся амплитудно-фазовые частотные характеристики, показанные на рис 6.3,с (при различных значениях Т_к).

Будучи числом комплексным, амплитудно-фазовая частотная характеристика может быть представлена в виде

(6.51)

7. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО

РЕГУЛИРОВАНИЯ ДВС.

7.1. Регуляторные характеристики двигателей.

Система автоматического регулирования (САР) (рис. 7.1) называется совокупность взаимодействующих в процессе работы элементов (двигателя 2 и регулятора 1), предназначенных для поддержания в заданных пределах значений регулируемого параметра (частоты вращения, температуры, давления и т.д.). Функциональная схема такой системы представлена на рис 1.2, с. Классификация САР двигателей оказывается наиболее удобной, если основным признаком для классификации принять тип установленного на двигателе регулятора.

Статические свойства САР определяются регуляторными характеристиками (см. рис. 4.3, б; 4.6, б; 5.2а), которые при установке регуляторов на двигателе, (в частности, автоматического регулятора частоты вращения) представляют собой зависимости характеристик двигателя от частоты вращения (угловой скорости) коленчатого вала. Такими характеристиками могут быть: эффективная мощность , крутящий момент или среднее эффективное давление , при условии, что они определяются установленным на двигателе автоматическим регулятором при выбранном положении органа управления двигателем в пределах от полной подачи топлива до подачи холостого хода. Следовательно, регуляторной характеристикой двигателя является совокупность установившихся (равновесных) режимов работы САР двигателя при различных нагрузках и при определенной настройке автоматического регулятора.

Регуляторная характеристика двигателя может быть построена, если известны скоростные характеристики двигателя, (например M = f (ω)) при постоянных положениях h рейки топливного насоса (квадрант I на рис. 7.2, кривые 1 - 4) и равновесные кривые (см. рис. 4.2) регулятора (квадрант III на рис. 7.2, кривые 6 – 10). В квадрантах II и IV наносятся прямые 5 и 11, характеризующие передаточные отношения механизмов, связывающих двигатель и регулятор, причем прямая h = f (z) учитывает наличие в системе главной отрицательной обратной связи (по мере увеличения z рейка должна перемещаться в сторону уменьшения подачи топлива).

После выбора равновесной кривой (например, 8) с предварительной деформацией пружины d₂ на оси ординат в квадранте IV отмечаются значения h_k (h₄, h₃ и т.д.), соответствующие скоростным характеристикам двигателя (точки A, B, C и др.). Полученные точки проецируются на равновесную кривую (точки A_р, В_р, С_р), а затем на скоростные характеристики двигателя. Соединение точек А_д, В_д, С_д кривой и дает регуляторную характеристику 12 двигателя.

Статизм регуляторной характеристики определяется степенью неравномерности δ, и для статических характеристик имеем: δ > 0.

Уменьшение диапазона изменения угловой скорости в пределах одной регуляторной характеристики приближает статические характеристики к астатическим. При астатических регуляторных характеристиках значение: δ = 0. Отклонение регуляторной характеристики от прямолинейной формы оценивают степенью непрямолинейности

(7.1)

где ω_ном – угловая скорость при номинальном режиме работы двигателя; ω₁, ω₂ – точки пересечения (с абсциссой) хорды и параллельной ей касательной, проведенных к регуляторной характеристике.

Рис. 7.1. Система автоматического регулирования частоты вращения коленчатого вала с регулятором прямого действия

Рис. 7.2. Построение регуляторной характеристики двигателя

7.2. Дифференциальные уравнения САР.

Статические свойства САР определяются совокупностью регуляторных характеристик, соответствующих заданным техническим условиям (степени неравномерности, непрямолинейности, нечувствительности и т.д.). Точки регуляторных характеристик определяют соответствующие установившиеся (равновесные) режимы, при которых положение муфты регулятора всегда соответствует значению заданной угловой скорости.

Однако изменения нагрузки на двигатель или настройки регулятора нарушают эти соответствия, появляются переходные процессы, характер которых определяется динамическими свойствами САР при неустановившихся (неравновесных) режимах работы. Таким образом, оценить динамические свойства САР можно путем исследования переходных процессов. При таких исследованиях, прежде всего, оценивается устойчивость системы регулирования, т.е. ее способность обеспечивать установление и поддержание заданного нового положения равновесия.

Однако если новое положение равновесия устанавливается регулятором лишь через значительный интервал времени или если в течение переходного процесса проявляются недопустимо большие отклонения (забросы) от положения равновесия, то работу такого регулятора нельзя признать удовлетворительной. Эти обстоятельства выдвигают вторую задачу исследования – выявление качества переходного процесса.

Третьей задачей исследований динамических свойств САР является определение таких параметров регулятора, которые при заданном регулируемом объекте обеспечивали бы заданные параметры качества процессов. Эта задача по существу является задачей синтеза САР.

Система автоматического регулирования прямого или непрямого действия сможет выполнять возложенные на нее функции, если ее элементы (двигатель и регулятор) соединены в последовательную цепь взаимодействия с выполнением условия главной отрицательной обратной связи (3.3), которое для системы непрямого регулирования имеет вид:

η = − χ (7.2)

Таким образом, для получения представления о динамических свойствах САР необходимо совместно решить дифференциальные уравнения: двигателя – (1.25) или (2.14); автоматического регулятора прямого действия (его чувствительного элемента) – (6.13); и главной отрицательной обратной связи (7.2). Так, например, для системы автоматического регулирования двигателя без наддува [см. (1.25)] с регулятором прямого действия [см. (6.13)] эти уравнения составляют систему

(7.3)

При совместном решении системы уравнений необходимо выбрать параметр, изменение которого должно быть исследовано. Наиболее часто в качестве такого параметра выбирают изменение угловой скорости φ вала двигателя.

Далее будет изложена формальная процедура получения одного дифференциального уравнения. Согласно этой процедуре дифференциальные уравнения САР сначала формально представляются в виде одного уравнения:

Δ·φ = Δ_φ (7.4)

где Δ – главный определитель системы; Δ_φ – присоединенный определитель, дающий правую часть уравнения системы, характеризующую внешние постоянно действующие возмущения (α_д и α_р). Главный определитель системы Δ составляется из коэффициентов дифференциальных уравнений при их выходных координатах. Если в качестве исследуемой выбрать систему (7.3), то такими выходными координатами являются φ и η, поэтому уравнения элементов необходимо переписать в виде:

(7.5)

в соответствии с которыми главный определитель системы будет:

(7.6)

Присоединенный определитель Δ_φ составляется путем замены в главном определителе столбца, соответствующего исследуемой координате, термами правой части дифференциальных уравнений (7.5), определяющих возмущающих воздействий на систему.

С учетом сказанного присоединенный определитель системы (7.4) получит вид:

(7.7)

Раскрытие определителей и подстановка их в уравнение (7.4) приводит последнее к виду:

(7.8)

где

(7.9)

Это уравнение можно развернуть, если учесть в нем развернутые выражения собственных операторов двигателя (1.25) и регулятора (6.13). Тогда, наконец получим искомую «естественную» форму уравнения (7.4):

(7.10)

где

(7.11)