Расчёт балок на прочность при изгибе

При расчёте строительных конструкций применяется метод расчёта по первой группе предельных состояний, в машиностроении–метод допускаемых напряжений.

В большинстве случаях решающие значения на прочность при изгибе имеют наибольшие нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балок, и лишь в некоторых случаях наибольшие касательные напряжения, действующие на нейтральной оси х.

Для пластических материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, выгодно применять симметричные относительно нейтральной оси сечения.

В том случае условие прочности записывается в виде

где R –расчётное сопротивление материала; – коэффициент условий работы; М – наибольший по абсолютной величине изгибающий момент; W _х –момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси х;

– наибольшие напряжение, возникающие в балке.

Наибольшее значение нормальные напряжения имеют на уровне нейтральной оси х.

Сечение балки, в котором действует по абсолютной величине М , называется опасным сечением.

При расчёте элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием условий прочности решаются следующие задачи:

проверка прочности, подбор сечения и определение грузоподъёмности балки.

Решение первой задачи сводится к проверке выполнения условий прочности.

Решение второй задачи сводится к определению размеров сечения при заданной форме.

Вначале определяется величина требуемого момента сопротивления, а затем устанавливаются размеры сечения.

Для прямоугольного сечения с заданным соотношением сторон h/b = n можно найти

W_х = ; h = ; b = h/n.

Для круглого сечения можно найти диаметр D

W_х = ; D = .

Для прокатных профиле (двутавр, швеллер) по величине момента сопротивления W выбор сечения производится по сортаменту.

Решение третьей задачи по определению грузоподъёмности определяется в опасном сечении величина наибольшего изгибающего момента

М _нб= .

Затем этот момент выражается через приложенные к балке нагрузки и определяется соответствующие величины нагрузки.

Следует отметить, что в коротких балках (l/h 5), а также в балках обычной длины нагруженных большими по величине сосредоточенными силами близко расположенными к опорам, изгибающий момент может оказаться небольшим, а поперечная сила по абсолютной величине значительна. В этом случае необходимо производить проверку по наибольшим касательным напряжениям.

Условие прочности по наибольшим касательным напряжениям имеет вид

где Rs – расчётное сопротивление материала балки при сдвиге.

Для металлов, например для стали марки ВСт3 при

R =210 МПа, а при сдвиге R _s=130МПа.

Для деревянных балок расчётное сопротивление растяжению и сжатию при изгибе R =13 МПа, а при скалывании R _s=2,4МПа.

Расчёт на прочность по наибольшим касательным напряжениям производится для сечений, где действует наибольшее по абсолютной величине поперечная сила Q _нб. Наибольшее значение касательные напряжения имеют на уровне нейтральной оси х.

Расчёт на прочность по имеет решающее для деревянных балок, так как дерево плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон.

Для деревянной балки прямоугольного сечения условие прочности имеет вид

,

где А = b h – площадь поперечного сечения балки.

Для деревянной балки круглого сечения условие прочности можно записать в виде

,

где А = площадь поперечного сечения балки.

Для стальной двутавровой балки условие прочности имеет вид

,

где S _х – статический момент площади половины сечения относительно нейтральной оси х; J_x – момент инерции сечения относительно нейтральной оси х; d –ширина стенки двутавра на уровне нейтральной оси у =0.