Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов основан на реализации первого закона Кирхгофа. Количество уравнений, необходимых для отыскания потенциалов узлов электрической цепи, соответствует количеству уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа nI = у – 1.

Рассмотрим принцип формирования одного из уравнений системы уравнений по методу узловых потенциалов на примере схемы, изображенной на рис. 1.17.

Рис. 1.17

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла

J + I' 1 – I 1 – I 2 – I' 2 –I 3 =0.

Используя обобщенный закон Ома

перепишем исходное уравнение в виде

J +[0 –(j1 – j2)] G' 1 – [ E + (j1 – j2)] G 1 – [ E 2 + (j1 – j4)] G 2 –

– [0 +(j1 – j4)] G' 2 – [0 +(j1 – j3)] G 3 =0.

Раскроем скобки и приведем подобные члены

j1 (G 1 +G' 1 +G 2 +G' 2 +G 3) - j2(G 1 +G' 1) - j3 G 3 = J - E 1 G 1 – E 2 G 2.

Подобные уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы.

Для n количества узлов может быть записана система из (n -1) уравнений

(1.6)

где Gkk – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k (собственная проводимость k -го узла), Gkm – сумма проводимостей ветвей, соединяющих k -й и m -й узлы (общая проводимость), Jkk – узловой ток k -го узла, который может быть определен из выражения

Правило знаков: собственная проводимость узлов всегда входит в систему со знаком «+», общая проводимость – со знаком «-». Если направление источника тока или источника ЭДС к узлу, то соответствующему слагаемому узлового тока присваивается знак «+».

1.7.1. Алгоритм расчета

1.Определяем необходимое количество уравнений.

2. В соответствии с расчетным количеством уравнений составляем систему уравнений в общем виде по типу (1.6).

3. Нумеруем узлы схемы, один из которых заземляем, т.е. принимаем величину его потенциала равной нулю.

4. Рассчитываем собственные проводимости Gkk, общие проводимости Gkm и узловые токи Jkk.

5. Решаем полученную систему относительно потенциалов узлов.

6. Задаемся условно положительным направлением токов и определяем их в общем случае по обобщенному закону Ома.

Ik = [± Ek ± ( j k - j m)] Gkm.

7. В необходимых случаях проводим анализ полученных результатов расчета.

1.7.2. Метод двух узлов

Если в схеме присутствуют два узла, как это показано на рис.1.18, то составляется только одно уравнение, которое непосредственно вытекает из системы (1.6)

j1 G 11 = J 11

или

Рис. 1.18

Токи в ветвях находим по закону Ома для участка цепи или по обобщенному закону Ома.