Принципы и подходы к построению математических моделей

П ри глубоком изучении крупных проблем, требующих ре­шения, используются научные методы, такие как системный анализ, исследование операций.

Основу этих методов составляет матема­тическое моделирование.

В общем случае системный подход — это методологическое направление, рассматривающее объекты реального мира как системы.

Системой называется совокупность взаимодействующих элементов, объединенных общей целью, составляющих единое целое и обладающее эффектом эмерджентности, либо положительной синергией.

Необходимость реализации системного подхода в решении сложных хозяй­ственных задач поро­дила новую межотраслевую область знаний, использующую ма­тематику в качестве способа выражения мер и отношений меж­ду изучаемыми явлениями.

Такой наукой стала теория исследо­вания операций и систем.

Возникшая в отрыве от основных идей кибернетики, теория исследования операций и систем сегодня является самостоятельным и достаточно емким разде­лом прикладной кибернетики (учитывая сходный характер и методы решаемых задач).

Практическая значимость теории ис­следования операций усилилась в связи с широким проникно­вением в сферу управления современных средств вычислитель­ной техники.

Фактор времени, ранее обесценивавший многие математические результаты, перестал быть препятствием (хотя и сегодня математическое обеспечение является наиболее до­рогостоящим в использовании ЭВМ).

Например, для оптимального решения сравнительно про­стой хозяйственной задачи с пятью показателями (переменны­ми), каждый из которых может принимать 10 допустимых значе­ний, требуется перебрать 100 000 вариантов возможных реше­ний. Один счетный работник задачу оптимального выбора будет решать около года непрерывных вычислений (если будет тра­тить всего 5 минут на расчет одного варианта и сравнения его с другими). ЭВМ выполняет эту операцию в считанные минуты (или секунды в зависимости от типа машины).

Как утверждают специалисты, использование жесткой логики вместо интуиции сопровождает­ся двумя проблемами:

Ø реже проявляется творческая мысль,

Ø чаще принимаются шаблонные решения вследствие наличия детализированной информации.

Настоящее творчество в при­нятии решений проявляется в сочетании логических рассужде­ний с интуицией.

Внедрение информационных технологий сопряжено со стандартизацией управления различными социальными и про­изводственными процессами из-за использования одних и тех же информационных систем. Хорошо это или плохо?

Очевидно, хорошо в том плане, что с помощью вычислительной техники механизм разработки решений становится прозрачным, многие важные для общества процессы превращаются в оптимальные модели.

Это избавляет процедуру принятия решений от произ­вола и некомпетентности чиновников.

Как всегда, существует и другая сторона вопроса, связанная с интересами аппарата управления, с созданием особой, универсальной общественной модели, которая не всеми приветствуется.

Автоматизация про­цессов управления создает инфраструктуру, при которой мно­гие процессы принятия решений становятся относительно неза­висимыми от человеческого фактора, то есть настроения и же­ланий чиновничьего аппарата.

Для оздоровления современной отечественной управленческой практики данное обстоятельство имеет особое значение, избавляя ее прежде всего от корруп­ции.

Многие современные российские руководители достаточно равнодушны к информационным технологиям. Проведенный опрос экспертов свидетельствует о том, что более 60% из их числа не пользуются компьютерами.

Подавляющее большинство применяет компьютер в качестве печатающего устройства.

И только 2% самостоятельно через компьютер получают инфор­мацию из Интернет.

Р анее отмеча­лось, что сущность моделирования состоит в подборе матема­тических схем, адекватно описывающих процессы, происходя­щие в действительности.

Строгая формализация социально-экономических процес­сов функционирования предприятия практически невозможна.

Поэтому сложность составления математической модели связы­вается с тем, насколько точно (адекватно) она отражает реальность.

Тем не менее математическое моделирование в социально-экономической области подчас выступает единст­венной возможностью количественного анализа процессов и явлений, так как натурный эксперимент либо невозможен, либо ограничен.

Положительными характеристиками моделирования также являются:

T применение более совершенной технологии расчета в сравнении и иными методами;

T высокая степень обоснованности решений;

T сокращение сроков разработки решений;

T возможность выполнения обратной операции.

Ее особен­ность состоит в том, что имея модель и исходные данные, мож­но рассчитать результат. Но можно сориентироваться на тре­буемый результат и определить, какие исходные данные для этого необходимы.

В управленческой деятельности эта возмож­ность чрезвычайно важна.

Б ольшую роль в моделировании систем играют гипотезы, — определенные предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок.

При формулировании и проверке правильности гипотез большое значение в качестве метода суждения имеет аналогия.

Аналогией называют суждение о каком либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может бить существенным и несущественным.

Понятия существенности и «несущественности» сходства или различия объектов условны и относительны.

Существенность сходства (различия) зависит от уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования.

Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объек-тивно существующий мир, должны обладать наглядностью и сводиться к удобным для исследования логическим схемам.

Такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями.

Другими словами, модель (лат. Modulus – мера) – это объект-заместитель объекта оригинала.

Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала при помощи объекта-модели путем проведения экспериментов с моделью — называется моделированием.

Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследования свойств объектов на их моделях — называется теорией моделирования.

Сущность построения математической модели состоит в том, что реальная система упрощается, схематизируется и описывает­ся с помощью того или иного математического аппарата.

Любую модель строят в зависимости от цели, которую ставит перед ней исследователь, поэтому одна из основных проблем при моделировании — это проблема целевого назначения.

По­этому в качестве цели должна быть поставлена задача изучения какой-либо стороны функционирования объекта.

Построение модели оказывается возможным, если имеется информация или выдвинуты гипотезы относительно структуры, алгоритмов и параметров ис­следуемого объекта. Их изучение есть процесс идентификация объекта.

Правильно построенная модель выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы не сущест­венные для данного исследования.

Следует отметить, что оригинал и модель могут быть одновременно сходны по одним признакам и различны по другим, что позволяет выделить наиболее важные изучаемые свойства.

В этом смысле модель выступает как «заместитель» оригинала, обеспечивающий фиксацию и изуче­ние лишь некоторых его свойств.

Поэтому разработчики моделей находятся под действием двух взаим­но противоречивых тенденций:

_ стремления к полноте описания и

_ стремления к получению требуемых результатов возможно бо­лее простыми средствами.

Простые модели помогают глубже понять исследуемую про­блему.

Усложненные модели используются для анализа влияния различных факторов на результаты моделирования.

Такой ана­лиз позволяет исключать некоторые факторы из рассмотрения.

Достижение компромисса ведется по пути построения серии моделей, начинающихся с пре­дельно простых и восходящих до высокой сложности.

Существу­ет известное правило: начинай с простых моделей, а далее услож­няй.

М атематическое моделирование многие считают ис­кусством.

Здесь очень ве­лика роль опыта, интуиции и других интеллектуальных качеств исследователя. Построение содержательной модели реального объекта во многом представляют собой творческий процесс и бази­руются на эвристике.

Поэтому невозможно написать формали­зованную инструкцию, определяющую, как должна строиться модель той или иной системы. Тем не менее отсутствие точных правил не мешает опытным специалистам строить удачные мо­дели.

Накопленный опыт, дает основание сформулировать некоторые принципы (общие требования) и под­ходы к построению моделей, которым долж­на удовлетворять всякая правильно построенная модель.

1. Адекватность.

Этот принцип предусматривает соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организации, а также соответствие реальной системе относительно выб­ранного множества свойств.

До тех пор, пока не решен вопрос, правильно ли отображает модель исследуемую систему, ценность модели незначительна.

2. Соответствие модели решаемой задаче.

Модель должна стро­иться для решения определенного класса задач или конкретной задачи исследования системы.

Опыт показывает, что при решении каждой конкретной задачи нужно иметь свою модель, отражающую те ас­пекты, которые являются наиболее важными в задаче. Этот принцип связан с принципом адекватности.

3. Упрощение при сохранении существенных свойств системы. Модель должна быть в некоторых отношениях проще прототи­па - в этом смысл моделирования.

Чем сложнее рассматривае­мая система, тем по возможности более упрощенным должно быть ее описание, умышленно утрирующее типичные и игнорирующее менее существенные свойства.

Этот принцип может быть назван принципом абстрагирования от второстепенных деталей.

4. Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели.

С одной стороны, чтобы отра­зить все сколько-нибудь существенные свойства, модель необхо­димо детализировать.

С другой стороны, строить модель, при­ближающуюся по сложности к реальной системе, очевидно, не имеет смысла.

Она не должна быть настолько сложной, чтобы нахождение решения оказалось слишком затруднительным.

Практическими рекомендациями по умень­шению сложности моделей являются:

ó Изменение числа переменных, достигаемое либо исключе­нием несущественных переменных, либо их объединением.

Про­цесс преобразования модели в модель с меньшим числом пере­менных и ограничений называют агрегированием.

ó Изменение природы переменных параметров.

Переменные параметры рассматриваются в качестве постоянных, дискретные - в качестве непрерывных и т.п.

ó Изменение функциональной зависимости между переменны­ми. Нелинейная зависимость заменяется обычно линейной, дис­кретная функция распределения вероятностей - непрерывной;

ó Изменение ограничений (добавление, исключение или мо­дификация).

При снятии ограничений получается оптимистичное решение, при введении - пессимистичное.

Варьируя ограничени­ями, можно найти возможные граничные значения эффективно­сти.

Такой прием часто используется для нахождения предвари­тельных оценок эффективности решений на этапе постановки задач;

ó Ограничение точности модели.

Точность результатов мо­дели не может быть выше точности исходных данных.

5. Баланс погрешностей различных видов.

В соответствии с принципом баланса необходимо добиваться, например, баланса систематической погрешности моделирования за счет отклоне­ния модели от оригинала и погрешности исходных данных, точ­ности отдельных элементов модели, систематической и случайной погрешности при интерпрета­ции и осреднении результатов.

6. Многовариантность реализации элементов модели.

Разно­образие реализации одного и того же элемента, отличающихся по точности (а следовательно, и по сложности), обеспечивает ре­гулирование соотношения «точность/сложность».

7. Блочное строение.

При соблюдении принципа блочного строения облегчается разработка сложных моделей и появляется возможность использования накопленного опыта и готовых бло­ков с минимальными связями между ними.

В зависимости от конкретной ситуации возможны следующие подходы к построению моделей:

• непосредственный анализ функционирования системы;

• проведение ограниченного эксперимента на системе;

• использование аналога;

• анализ исходных данных.

Таким образом, от постановки задачи моделирова­ния до интерпретации полученных результатов существует большая группа сложных научно-технических проблем, к основным из кото­рых можно отнести следующие:

· идентификацию реальных объек­тов,

· выбор вида моделей,

· построение моделей и их машинную реализацию,

· взаимодействие исследователя с моделью в ходе ма­шинного эксперимента,

· проверку правильности полученных в ходе моделирования результатов,

· выявление основных закономерностей, исследованных в процессе моделирования, и которые решаются в ходе реализации приведенного ниже алгоритма в ходе циклического процесса моделирования.

Определение цели моделирования. Построение вербальной модели.

Применение физических законов. Огрубление модели объекта.

Поиск математического описания. Ранжирование модели

Уточнение модели

Выбор метода исследования

Разработка алгоритма и программы для ЭВМ

Расчеты на ЭВМ

Отладка и тестирование программы

Рис.2.1 Основные этапы построения моделей.

1. Содержательное (вербальное) описание моделируемого объекта.

Исходя из цели исследования устанавливаются:

• совокупность эле­ментов,

• взаимосвязи между элементами,

• возможные состояния каждого элемента,

• существенные характеристики состояний и соотношения между ними.

Такое предварительное, приближенное представление системы называют концептуальной моделью.

2. Для того чтобы содержательное описание служило хорошей основой для последующей формализации, требуется обстоятельно изучить моделируемый объект, для чего целесообразно применение физических законов (биологических, химических и прочих) и системных представлений об объекте исследования.

Нередко стремление уско­рить разработку модели уводит исследователя от данного этапа непосредственно к решению формальных вопросов.

Построенная без достаточного содержательного базиса модель оказывается непригодной к использованию.

На этом этапе моделирования широко применяются каче­ственные методы описания систем, знаковые и языковые модели.

3. Формализация операций.

Сводится в общих чертах к следующему:

Ø На основе содержательного описания оп­ределяется исходное множество характеристик системы.

Ø Для вы­деления существенных характеристик необходим хотя бы прибли­женный анализ каждой из них.

Ø После исключения несущественных характеристик вы­деляют управляемые и неуправляемые параметры и производят символизацию.

Ø Затем определяется система ограничений на зна­чения управляемых параметров.

Если они не носят прин­ципиальный характер, ими пренебрегают.

Далее формируется целевая фун­кция модели, когда выби­раются показатели исхода операции и определяется вид функции полезности на исходах.

4. Проверка адекватности модели.

Требование адекватности, как отмечалось ранее, находится в противоречии с требованием простоты, и это нужно учитывать при проверке модели на адекватность.

Исходный ва­риант модели проверяется по следующим основ­ным аспектам:

• Все ли существенные параметры включены в модель?

• Нет ли в модели несущественных параметров?

• Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?

• Правильно ли определены ограничения на значения пара­метров?

Для проверки надо привлекать специалистов, не принимавших участия в разработке модели.

Они могут бо­лее объективно рассмотреть модель, чем ее разработчики, что позволит выявить грубые ошибки.

После реализации модели и проведении исследований результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта.

Для установления соответствия создаваемой модели оригиналу используются сле­дующие пути:

• сравнение результатов моделирования с отдельными экспериментальными результатами, полученными при одинаковых условиях;

• использование других близких моделей;

• сопоставление структуры и функционирования модели с прототипом.

Главным путем проверки адекватности модели исследуемо­му объекту выступает практика. Однако она требует накопления статистики, которая далеко не всегда бывает достаточной для получения надежных данных.

По результатам проверки модели на адекватность принима­ется решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

5. Корректировка модели. При корректировке модели могут уточняться

Ø существенные параметры,

Ø ограничения на значения управляемых параметров,

Ø показатели исхода операции,

Ø связи показателей исхода операции с существенными параметрами,

Ø критерий эффективности.

После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка адекватности.

6.Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей со­стоит в их упрощении при заданном уровне адекватности.

Ос­новными показателями, по которым возможна оптимизация мо­дели, служат время и затраты средств для проведения иссле­дований на ней.

В ыбор той или иной аналогии, выбор того или иного математического аппарата моделирования полностью осно­вывается на имеющемся опыте исследователя и ошибка исследова­теля может привести к ошибочным результатам моделирования.

Средства вычислительной техники, могут лишь помочь с точки зрения эффективности реализации сложной модели, но не позволяют подтвердить правильность той или иной модели.

Только на основе обработанных данных, опыта исследователя можно с достоверностью оценить адекватность мо­дели по отношению к реальному процессу.

Единичный эксперимент никогда не может быть решающим для подтверждения гипотезы, проверки теории.

Только многократное экспериментальное исследование, опыт, практика — является критерием истины.