Системи числення

Система числення – сукупність прийомів і правил зображення чисел цифровими знаками. Системи числення діляться на непозиційні і позиційні.

Непозиційні системи числення – система, в якій значення символа не залежить від його положення в числі. Прикладом непозиційної системи числення служить римська система числення (1 – I, 3 – III, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – З, 500 – D, 1000 – M). Основний недолік непозиційних систем числення – велике число різних знаків і складність виконання арифметичних операцій.

Позиційна система числення – система, в якій значення символа залежить від його місця серед цифр, що зображають число. Наприклад в числі 777, хоч цифри числа однакові, але перша цифра означає кількість сотень, друга кількість десятків і третя цифра кількість одиниць. Позиційна система числення характеризується основою.

Основа (базис) позиційної системи числення – кількість знаків або символів, що використовуються в розрядах для зображення числа в даній системі числення. Можлива безліч позиційних систем, оскільки за основу можна прийняти будь-яке ціле число.

Для позиційної системи числення із загальною основою справедлива рівність

X(q)=a _n q _n + a _n-1 q ^n-1 +…+ a ₁ q ¹+a ₀ q ⁰ + + a _–1 q ^–1 +…+ a _–m q ^–m = ,

де q – основа позиційної системи числення – ціле позитивне число; X(q) – довільне число, записане в системі числення з основою q; a _i – коефіцієнт ряду (цифри системи числення); n, m – кількість цілого і дробових розрядів.

На практиці використовується скорочений запис числа

X(q) = a _n a _n-1 … a₁a₀ ,a_-1 …a _–m

Наприклад: 7943,23₁₀ = =7×10³+9×10²+4×10¹+3×10⁰+2×10^-1+3×10^-2;

110,101₂=1×2²+1×2¹+0×2⁰+1×2^-1+0×2^-2+1×2^-3

Вага розряду числа в позиційній системі числення p ⁱ є відношення p ⁱ = q ⁱ/q ⁰=q ⁱ, де i – номер розряду в напрямку від молодших до старших.

Якщо розряд має вагу p ⁱ = q ⁱ , то наступний старший розряд буде мати вагу p ⁱ⁺¹ = q ⁱ⁺¹, а попередній розряд вага p ^i-1 = q ^i-1. Отже, в позиційній системі числення вага розряду визначається його положенням (позицією) в числі.

Довжина числа – кількість розрядів (позицій) в записі числа.

Довжина розрядної сітки – термін, що використовується для визначення довжини числа. У різних системах числення довжина розрядної сітки при записі одного і того ж числа неоднакова. Наприклад, 96₁₀=140₈=10120₃=1100000₂. З прикладу видно, що одне і те ж число, записане в різних системах числення, має різну довжину розрядної сітки. Чим менше основа системи, тим більше довжина розрядної сітки. Припустимо, що довжина розрядної сітки рівна якомусь позитивному числу n, тоді X_max=q ⁿ – 1.

Діапазон представлення (ДП) чисел в заданій системі числення – інтервал числової осі, укладений між максимальними і мінімальними числами, представленими довжиною розрядної сітки, тобто X _max ³ ДП ³ X _min. Звичайно X _min = 0.

Таблиця 1. Таблиця відповідності чисел в різних системах числення

Основа	10-кова	2-кова	8-кова	16-кова
Числа
			A
			B
			C
			D
			E
			F