![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
.
Доказать, что определитель матрицы Вандермонда равен произведению всех разностей вида , где
.
Доказать, что сумма всех членов определителя матрицы А порядка
равна
.
Ответы, указания, решения
2. Указание: воспользоваться теоремой 2.1 и примером в начале пункта 2.4.
3. Решение. Докажем индукцией относительно порядка матриц. Утверждение непосредственно проверяется при
. Предположим, что оно верно для всех квадратных матриц порядка
. Докажем его справедливость для произвольной матрицы А порядка
. Обозначим
и разложим
по первому столбцу:
Но
и, следовательно, по индуктивному предположению
. Поэтому
.
4. Решение. Докажем индукцией относительно порядка матриц. Утверждение непосредственно проверяется для треугольных квадратных матриц порядка 2. Предположим, что оно верно для всех квадратных треугольных матриц порядка . Докажем его справедливость для произвольной треугольной матрицы А порядка
. Для определенности считаем, что все элементы матрицы А, которые выше главной диагонали, равны нулю. Разложим
по первой строке:
где - треугольная матрица порядка
и, следовательно, для нее выполняется индуктивное предположение, т.е.
. Отсюда
, что и требовалось доказать.
5. Решение. Если обозначить через вектор-строку
, то согласно условию,
т.е. однородная система линейных уравнений
имеет ненулевое решение
. Поэтому по следствию 1.3 столбцы матрицы F линейно зависимы, т.е. F – вырожденная. Но тогда
по следствию 2.6. Утверждение доказано.
6. Решение. Пусть
И нечетно. Если умножить каждую строку матрицы
на -1, то опять получится матрица А. Из свойства 2.5 вытекает, что
или
, что возможно только при
.
7. Решение. Докажем индукцией относительно порядка матрицы Вандермонда. Матрица Вандермонда второго порядка имеет вид и ее определитель равен
, т.е. утверждение выполняется. Предположим, что утверждение верно для матриц Вандермонда порядка
. Произведем следующие элементарные преобразования столбцов матрицы В: поочередно из каждого столбца, начиная с
-го, вычитаем предыдущий столбец, умноженный на
. В результате получим матрицу:
,
откуда
.
Из того, что последний сомножитель является определителем матрицы Вандермонда порядка . Следует требуемое утверждение.
7. Доказательство. Доказательство утверждения проведем индукцией относительно порядка матрицы А. Для матриц второго порядка его справедливость проверяется непосредственно. Предположим, что утверждение верно для матрицы порядка и рассмотрим квадратную матрицу порядка
. Из определения определителя следует, что
.
По индуктивному предположению для любой матрицы определитель
состоит из
слагаемых, каждое из которых содержит в качестве сомножителей ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы
. Поэтому рассматриваемая сумма может быть представлена в виде
слагаемых, составленных таким же образом. Осталось доказать, что каждое такое слагаемое фактически является членом определителя. Рассмотрим одно из таких слагаемых в выражении
. По индуктивному предположению оно равно:
,
где - число инверсий вектора
, координаты которого составлены из номеров столбцов матрицы
, содержащих соответственно элементы
матрицы А. При этом следует отметить, что из-за исключения
-го с толбца из матрицы А происходит сдвиг ее номеров столбцов (на 1 уменьшаются все номера с
-го по
-1). Поэтому
(2.3)
Сравним числа и
, где
- число инверсий вектора
Ввиду (2.3) число инверсий, образованных парами координат, не содержащих
в векторах
и
одинаково. Число
, стоящее на первом месте в векторе
, образует
инверсию с меньшими числами 1.2. …,
. Поэтому
Числа
и
имеют одинаковую четность. Следовательно, слагаемое
равно члену определителя
. Отсюда следует, что сумма членов определителя матрицы А равна
.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 405 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!