![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Будем считать, что матрица или вектор положительны (неотрицательны), если все их элементы положительные (неотрицательные). Запись или
(
или
) означает, что матрица А или вектор
положительны (неотрицательны).
Определение. Число называется собственным значением квадратной матрицы А, если существует такой ненулевой вектор-столбец
, для которого:
. (4.1)
Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению
(нулевой вектор не считается собственным).
Определение. Пусть - некоторая переменная.
- определитель квадратной матрицы
. Уравнение
называется характеристическим уравнением матрицы А.
Теорема 4.1. Число является собственным значением матрицы А, если и только если
- корень ее характеристического уравнения.
Доказательство. Поскольку , то условие (4.1) и
эквивалентны. Число
является собственным значением матрицы А, если и только если однородная система линейных уравнений
имеет ненулевое решение. Из следствий 1.3 и 2.6 последнее равносильно равенству нулю определителя матрицы
. Теорема доказана.
Следствие 4.1. Множества собственных значений квадратных матриц и
совпадают.
Для доказательства достаточно воспользоваться равенством .
Следующее утверждение приведем без доказательства.
Теорема 4.2 (теорема Перрона-Фробениуса). Квадратная неотрицательная матрица А имеет неотрицательное действительное собственное значение , и модуль любого собственного значения матрицы А не превосходит
(
называется максимальным собственным значением матрицы А) Среди собственных векторов, соответствующих
, имеется неотрицательный вектор. Если А положительна, то
превосходит модули всех других собственных значений матрицы А, и среди собственных векторов, соответствующих
, имеется положительный вектор.
Следствие 4.2. Если в квадратной неотрицательной матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то максимальное собственное значение матрицы А равно 1.
Доказательство. В силу теоремы 4.2 матрица А имеет неотрицательное собственное значение , которому соответствует неотрицательный собственный вектор
:
. Если обозначить через
вектор-строку, размерность которой равна порядку А, а все координаты равны 1, то условие о суммах элементов столбцов матрицы А можно записать в виде равенства
. Умножив обе части этого равенства справа на вектор-столбец
, получим
,
,
.
Поскольку хотя бы одна координата вектора положительна, то число
положительное. Поэтому
Следствие доказано.
Определение. Неотрицательная квадратная матрица А порядка называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора-столбца
существует неотрицательный вектор-столбец
такой, что
.
Теорема 4.3. Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна, если и только если ее максимальное собственное значение меньше 1.
Доказательство. В силу теоремы 4.2 и следствия 4.1 матрицы и
имеют неотрицательное собственное значение
, причем модули других их собственных значений не превосходят
, и значению
соответствует такой неотрицательный вектор
, что
.
Предположим вначале, что матрица А порядка продуктивна. Тогда, в частности, для произвольного положительного вектора-столбца
найдется такой вектор-столбец
из
, что
. (Из этого равенства следует, что
). Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор
:
, откуда по теореме 1.1
. Но (см. теорему 1.14)
.
Следовательно, . Согласно выбору,
- положительный вектор,
- неотрицательный ненулевой вектор, поэтому
. По той же причине
. Следовательно,
.
Положим теперь обратное, что . Покажем, что для произвольного неотрицательного вектора-столбца
найдется вектор-столбец
такой, что
. Для этого рассмотри матрицу
, где
. Тогда
Отсюда по теореме 4.1 множество собственных значений матрицы В состоит из 1 и множества собственных значений матрицы А. Но по условию , поэтому
.- максимальное собственное значение матрицы В. Этому значению в силу теоремы 4.2 соответствует неотрицательный собственный вектор
и
. Обозначим через
вектор
. Тогда
, откуда
. Если
, то
и, следовательно,
- собственное значение матрицы А, что противоречит предположению
. Поэтому
, и
. Последнее означает, что вектор
- искомый. Теорема доказана.
Следствие 4.3. Неотрицательная квадратная матрица А порядка продуктивна, если и только если для матрицы
существует обратная неотрицательная матрица.
Доказательство. Предположим вначале, что для существует обратная неотрицательная матрица
. Для произвольного неотрицательного вектора
обозначим
через
. Тогда
или
,
причем из неотрицательности
следует, что
. Таким образом матрица А продуктивная по определению.
Предположим теперь, что А – продуктивная матрица, но для матрицы не существует обратной. По следствию 2.2 это равносильно тому, что матрица
вырождена. А это в свою очередь равносильно наличию ненулевого решения
однородной системы
., т.е.
. В этом случае
- собственное значение матрицы А, однако по теореме 4.3 ее собственные значения меньше 1. Осталось предположить, что А – продуктивная матрица, но для матрицы
существует обратная матрица, среди элементов которой встречаются отрицательные. Пусть
- один из них., а
- вектор-столбец из
,
-я координата которого равна 1, а остальные координаты равны нулю. Тогда ввиду продуктивности А существует неотрицательный вектор-столбец
такой, что
. Отсюда
. Но
-я координата в
равна
, что противоречит неравенству
. Следствие доказано.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 615 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!