Обратные матрицы. Задачи

1. Доказать следствие 2.1.

2. Доказать следствие 2.2.

3. Доказать следствия 2.3 -2.5.

4. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице А: а) переставить -ю и -ю строки; б) -ю строку умножить на отличное от нуля число ; в) к -й строке прибавить -ю строку, умноженную на число ? Ответить на этот же вопрос в случае аналогичных преобразований столбцов матрицы А.

5. Пусть А и В – невырожденные матрицы одного порядка. Тогда матрица также невырожденная, причем .

6. Пусть А – квадратная невырожденная матрица. Тогда

.

7. Решить систему линейных уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы):

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) ,

ж) ,

з) .

Ответы, указания, решения.

4. Ответы. а) в матрице поменяются местами -й и -й столбцы; б) -й столбец в матрице умножится на ; в) из -го столбца вычтется -й столбец, умноженный на .

5. Решение. , поэтому матрица - обратная для АВ. Это означает также, что АВ – невырожденная (в силу следствия 3.2).

6. Решение. Так как (см. теорему 1.12), то обратная для .

7. З). Решение. Перепишем систему в матрично-векторном виде: где

Согласно следствию 2.5, если матрица А невырожденная, то решением этой системы будет вектор-столбец . Поэтому воспользуемся практическим правилом проверки невырожденности матрицы и построения обратной для нее матрицы (в случае утвердительного ответа), описанным ранее:

,

откуда

.

Тогда искомое решение определяется равенством:

.