Модели элементов пневматических систем

Под пневматическими понимают технические системы, в которых рабочей средой является воздух или газ. Рабочая среда, в отличие от газа является сжимаемой: ее плотность r существенно зависит от давления р.

Газ называют совершенным, если для него справедливо уравнение Клайперона-Менделеева p = rRT, где T – температура газа, R - удельная газовая постоянная для данного газа. Тогда r = p/RT, масса m = rV = pV/RT.

В пневматической системе, как и в гидравлической, величиной, имеющей смысл потенциала, является разность (перепад) ∆ р давлений. В качестве величины, характеризующей перенос рабочей среды, вместо объемного расхода рассматривается расход массы газа dm / dt.

При установившемся ламинарном течении по трубопроводу вязкого газа с постоянным расходом m ' = ∆ р V / RT или ∆ р = m ' R _п, R _п = const. Это линейное соотношение аналогично закону Ома ∆ U = IR.

Для сосуда с фиксированным объемом V, газ выпускается (температура и плотность считаются постоянными) - масса газа изменяется во времени t. Тогда при T = T ₀ получим соотношение

m ' = dm / dt = V / RT ₀ dp / dt = m ₀/ p ₀ dp / dt = C _п dp / dt.

Это выражение аналогично выражению для электрического конденсатора I = Cd ∆ U / dt (C – емкость конденсатора).

Для участка трубопровода длиной l и площадью поперечного сечения S для идеального (невязкого) газа, движущегося с изменяющейся во времени скоростью v(t), в соответствии со вторым законом Ньютона (F = ma): S ∆ р = r S l dv(t)/dt или ∆ р = L_пd m '/dt, что аналогично выражению для ЭДС идеализированной (без сопротивления) катушки: ∆ U = LdI / dt (L – индуктивность катушки).

Соотношение ∆ р = m ' R _п можно считать справедливым при условии, что изменение давления по длине трубопровода вызывает пренебрежимо малое изменение плотности r газа. Тогда можно принять r = const, что означает постоянство объемного расхода газа V ' = m '/ r. Если трубопровод имеет круглое поперечное сечение радиуса r _*, то можно использовать выражение для гидравлического сопротивления при ламинарном течении вязкой несжимаемой жидкости R _г = 8 ηl /π r _*⁴. В этом случае R _п = R _г/ r.

В достаточно длинном трубопроводе изменение давления газа может оказаться существенным, что вызовет заметное изменение плотности газа. В этом случае при постоянном расходе массы m ' газа по длине трубопровода его объемный расход V ' по длине трубопровода будет переменным. По длине трубопровода может также меняться температура – тогда будет изменяться и плотность газа.

Как и в случае несжимаемой жидкости, при турбулентном режиме течения газа зависимость сопротивления трубопровода от расхода газа становится нелинейной.

8 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

8.1 Модели систем массового обслуживания

Модели систем массового обслуживания (СМО) разработаны для описания широко распространенных сложных систем, назначением которых является обслуживание в широком понимании, причем, массовое. Такие системы реализуют многократное выполнение однотипных задач.

Широкое понимание массового обслуживания включает в себя все формы обслуживания во многих областях экономики, финансов, производства, в службе связи, в транспорте, в военном деле, в быту (обслуживание продавцами покупателей, продажа билетов в кассах, ремонтные работы), медицине (на дому, в поликлиниках), и т.п.

Примеры СМО: банки различных типов (коммерческие, инвестиционные, ипотечные, инновационные, сберегательные), страховые организации (государственные, акционерные общества, компании, фирмы, ассоциации, кооперативы), налоговые инспекции, различные системы связи (в том числе телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции), автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы).

Такие системы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки информации, транспортные системы, автоматизированные производственные участки, поточные линии, различные военные системы, в частности системы противовоздушной или противоракетной обороны также могут рассматриваться как своеобразные СМО.

В основе формализации сложной системы как системы массового обслуживания – выделение обслуживающей системы, к которой в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание. При этом определяются три основные понятия: кого (что) обслуживают, кто (что) обслуживает, как (по каким правилам) обслуживает.

Основные элементы систем массового обслуживания.

Анализ и прогнозирование поведения сложных объектов и процессов выполняется методами теории массового обслуживания.

Основные компоненты системы обслуживания: входной поток, обслуживающая система, выходной поток.

Схематическая структура системы массового обслуживания

Система массового обслуживания представляет собой физическую систему дискретного типа с конечным (или счетным – можно пронумеровать) множеством состояний, система из одного состояния в другое переходит скачком, в момент, когда происходит какое либо событие (приход новой заявки, освобождение канала, уход заявки из очереди и т.д.). В любой момент времени система может быть в одном из этих состояний.

Во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы:

- входящий поток заявок;

- очередь;

- каналы обслуживания;

- выходящий поток обслуженных заявок.

Примеры: обслуживание большого количества однотипных требований (заявок, запросов на обслуживание) в телефонии, в системе продажи билетов. Заправочная станция: заявка на обслуживание – прибытие автомобиля (бензоколонки – обслуживающие каналы). Аэропорт: прибытие самолета (заявка), посадочные полосы (обслуживающие каналы).

Обслуживающая система имеет линии (приборы, каналы), выполняющие совокупность операций обслуживания.

Обслуживающая система – совокупность очередей и линий обслуживания. Каждая заявка должна поступить на одну из обслуживающих линий, чтобы пройти соответствующее обслуживание. Так как в общем случае продолжительность обслуживания является случайной величиной, то заявкам приходится ожидать, пока не освободится обслуживающая линия. В этом случае они находятся в накопителе, образуя одну или несколько очередей.

Механизм обслуживания (характеристики процесса обслуживания): множество обслуживающих приборов, количество одновременно обслуживаемых требований, продолжительность и тип обслуживания (последовательное или параллельное функционирование приборов), число каналов, число фаз обслуживания.

Каждый канал одновременно может обслуживать только одну заявку и каждая находящаяся под обслуживанием заявка обслуживается только одним каналом.

Многоканальные СМО могут состоять из однородных каналов, либо из разнородных, отличающихся длительностью обслуживания одной заявки. Практически время обслуживания каналом одной заявки Т _об является непрерывной случайной величиной. Однако при условии абсолютной однородности поступающих заявок и каналов время обслуживания может быть и величиной постоянной (Т _об = const).

Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, парикмахеры, продавцы), линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д.

Возможные варианты: ограниченная вместимость очереди, перемещение либо заявок к приборам, либо приборов к заявкам, непрерывно работающие системы (даже при отсутствии заявок), обслуживание заявок фиксированными порциями, параллельная или последовательная работа приборов, число обслуживающих приборов зависит от состояния системы, приборы функционируют по согласованному регламенту, приборы реализуют специфические и взаимно незаменимые процедуры и т.д.

Характеристики потока

На практике моменты поступления заявок случайны, случайна и длительность обслуживания заявки. В связи с этим процесс работы системы протекает нерегулярно: в потоке заявок образуются местные сгущения и разрежения. Сгущения могут привести либо к отказам в обслуживании, либо к образованию очередей.

На эти случайности, связанные с неоднородностью потока заявок, накладываются еще случайности, связанные с задержками обслуживания отдельных заявок. В силу случайного характера моментов поступления заявок процесс их обслуживания представляет собой случайный процесс. Построение математической модели такого процесса и изучение ее даст возможность оценить пропускную способность системы и дать рекомендации по рациональной организации обслуживания.

Такие модели используются при решении большого класса задач: проектирование систем обслуживания, автоматизация производства (ритмичность поступления деталей – потоки заявок к обслуживанию нарушается случайным образом), организация транспорта, сравнительная оценка эффективности систем различной структуры (среднее время простоя, среднее время безотказной работы и др.).

Потоком событий (в данном случае заявок) называют последовательность событий, наступающих одно за другим в какие-то заранее неизвестные, случайные моменты времени. Вид и параметры закона распределения входящего потока определяется характером физических процессов, протекающих в моделируемом объекте. Случайный характер потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс.

Поэтому для решения задач оценки эффективности систем массового обслуживания необходимо этот случайный процесс изучить, т.е. построить и проанализировать его математическую модель.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок, в общем случае, также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многих случайных, порой неизвестных причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки.

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться не обслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же другие интервалы времени при свободных каналах на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию ее каналов.

Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо "становятся" в очередь (т.е. образуют список объектов подлежащих обработке), либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО не обслуженными. Закон, определяющий порядок обслуживания входных заявок, называется дисциплиной очереди.

Поток – последовательность событий (заявок на обслуживание - требований) с заданным чередованием моментов их появления во времени.

Примеры:

- поток вызовов на телефонной станции;

- поток включений приборов в бытовой электросети;

- поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию;

- поток неисправностей (сбоев) вычислительной машины;

- поток выстрелов, направляемых на цель, и т. д.

Входной поток – поток заявок на обслуживание системой.

Основные показатели описания входного потока: характеристики источника заявок, тип заявок, длина интервалов времени между поступлениями требований. Возможные варианты: групповые поступления заявок, ожидание вне системы, поступление заявок согласованными потоками, зависимость входного потока от состояния системы, поступления по графику, но с опозданиями и др. Поступление заявок зависит от внешних обстоятельств, и этот процесс описывается через случайные величины.

Входной поток заявок однозначно задается последовательностью моментов времени поступления заявок в систему t₁, t₂,..., t_k,....

Чтобы описать случайный поток однородных событий как случайный процесс достаточно задать закон распределения, характеризующий последовательность случайных величин t₁, t₂,... t_k, Обычно вместо t₁, t₂,... t_k,.. задают случайные величины ξ₁, ξ₂,..., ξ_к,..., являющиеся длинами интервалов времени между последовательными моментами t_j:

t₁ = ξ₁,

t₂ = ξ₁ + ξ₂,

........

t_к = ξ₁ + ξ₂ +... ξ_к. _.

Для задания входного потока достаточно получить последовательность случайных величин ξ₁, ξ₂,.., ξ_i,... с заданным законом распределения.

Выходной поток – поток заявок, покидающих систему.

Источник – первопричина возникновения заявок независимо от их физической природы.

Рассмотрение процесса обслуживания отдельной заявки представляет лишь ограниченный интерес. Заявки образуют поток, последовательность поступления.

Случайный процесс, протекающий в системе массового обслуживания, состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок в очереди.

Случайные процессы со счетным множеством состояний бывают двух типов: с дискретным временем (переход из состояния в состояние только в определенные, разделенные конечными интервалами, моменты времени) и с непрерывным временем (переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени).

В связи со случайностью потока заявок в системах массового обслуживания рассматриваются только процессы с непрерывным временем.

Для того чтобы описать случайный процесс в дискретной системе с непрерывным временем, необходимо проанализировать причины, вызывающие переход системы из состояние в состояние.

Основной фактор, определяющий протекающие в системе массового обслуживания процессы является поток заявок.

При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто целесообразно представлять процесс так, как будто изменения состояний системы происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток неисправностей, поток заявок на обслуживание, поток посетителей и т. д.).

Если с точки зрения обслуживания все заявки потока оказываются равноправными и играет роль лишь сам факт наступления события, состоящего в появлении заявки, то такие потоки называются потоками однородных событий.

Для потока однородных событий получены аналитические решения оценки качества обслуживания.

Каждое событие однородного потока характеризуется моментом времени t _j, в который оно наступает. Поток событий, отличающихся только моментами появления, можно представить в виде последовательности точек t₁, t₂,... t _j,..

Если однородный поток событий является детерминированным, то последовательность событий задается перечислением моментов времени наступления события или зависимостью, позволяющее определить текущее значение t _j по предыдущим.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени.

Для решения многих прикладных задач можно ограничиваться частными случаями потоков.

Правило формирования очереди (дисциплина очереди) – алгоритм постановки заявок в очередь – правила формирования очереди, в соответствии с которыми обслуживающий механизм принимает заявку к обслуживанию.

Три основных типа правил: бесприоритетное, приоритетное обслуживание, случайный отбор заявок. Возможные варианты: циклическое – по одному требованию из различных источников, возможность отказов от ожидания, выбытие требований из очереди по истечении определенного времени, зависимость приоритетов от времени или от длительности прогнозируемого обслуживания (первой обслуживается заявка, требующая наименьших затрат времени), от продолжительности ожидания, от внешних причин (дополнительной оплаты) и др.

Простейший поток событий (поток Пуассона) удовлетворяет трем условиям: он стационарен, ординарен и не имеет последействий.

Стационарный поток событий – вероятностные характеристики не зависят от времени - вероятность наступления заданного числа событий в течение интервала времени фиксированной длины зависит только от продолжительности этого интервала, но не зависит от его расположения на временной оси.

Стационарность потока означает его однородность по времени; вероятностные характеристики такого потока не меняются в зависимости от времени.

Для стационарного потока характерна постоянная плотность потока λ - среднее число событий в единицу времени. Или: вероятность р_к (t, t₀) появления к событий за промежуток времени (t₀, t₀ +t) не зависит от t₀, а зависит только от t и к.

Это не значит, что фактическое число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно, поток может иметь местные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.

На практике все процессы стационарны только в определенные промежутки времени. Например, поток заявок на телефонной станции в течение суток не может считаться стационарным, но в течение определенного промежутка времени – может.

Ординарный поток – вероятность появления двух и более событий в течение элементарного интервала времени ∆ t есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления одного события на этом интервале.

Условие ординарности означает, что заявки поступают в систему поодиночке, а не парами, тройками и т.д.

Поток отказов элементов технических систем (восстанавливаемых элементов), например электрических сетей, можно представить как ординарный поток. Поток обстрелов, которому подвергается воздушная цель в зоне действия ракетной зенитной ПВО, является ординарным, если стрельба ведется одиночными ракетами, и неординарным, если стрельба ведется одновременно двумя или несколькими ракетами.

Если в неординарном потоке события происходят только парами, только тройками и т. д., то можно его рассматривать как ординарный «поток пар», «поток троек» и т. д. Если число событий, образующих «пакет» (группу одновременно приходящих событий), случайно, то тогда приходится наряду с потоком пакетов рассматривать случайную величину X — число событий в пакете, и математическая модель потока становится более сложной.

Поток без последействия: заявки поступают независимо друг от друга – случайные величины являются независимыми, т.е. отсутствует вероятностная зависимость последующего течения событий потока от предыдущего – для любых неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Пример: последействие отсутствует для потока пассажиров в метро, поскольку отсутствует зависимость между причинами, вызвавшими приход каждого из пассажиров на станцию. Но как только эта зависимость появляется, условие отсутствия последействия нарушается. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не обладает свойством без последействия, так моменты выхода для пассажиров, прибывших одним поездом, зависимы между собой.

Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказывается нарушенным.

Пример: поток грузовых поездов, идущих по железнодорожной ветке. Если по условиям безопасности они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени , то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Однако, если интервал мал по сравнению со средним интервалом между поездами, то такое нарушение несущественно.

Чаще всего выходные потоки заявок имеют последействие, даже если входной его не имеет. Последействие выходного потока необходимо учитывать, когда он является входным для другой системы (многофазное обслуживание, когда одна и та же заявка постепенно переходит из системы в систему).

При суперпозиции (взаимном наложении) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков суммируется. Дополнительно требуется, чтобы складываемые потоки были сравнимы по интенсивности, т. е., чтобы среди них не было, скажем, одного, превосходящего по интенсивности сумму всех остальных.

Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассоновским потоком. В таком потоке интенсивность λ (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени: λ = λ (t), тогда как для простейшего потока λ=const.

Пуассоновский поток событий (как стационарный, так и нестационарный) тесно связан с известным распределением Пуассона — число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона.

Для простейшего потока (потока Пуассона) вероятность P_k (t) наступления k событий за интервал времени длины t выражается законом распределения Пуассона (вероятность того, что за время t произойдет к событий) - поэтому часто простейший поток называют пуассоновским потоком:

с математическим ожиданием a = λt.

Здесь λ – плотность потока (количество заявок в единицу времени).

Введем состояние системы следующим образом: система находится в состоянии Е_s в момент времени t, если к этому моменту в систему поступило s заявок. Вероятность того, что в момент времени t + ∆ t система останется в том же состоянии, т.е. что за интервал времени ∆ t в систему не поступит ни одной заявки:

S = 0, 1, 2, …,

разлагая в ряд, имеем w_ss = 1 – λdt.

Вероятность поступления в систему хотя бы одной заявки w_ss+1 = λdt.

Такой закон распределения называется показательным (или экспоненциальным). Величина называется параметром показательного закона. Ввиду стационарности потока полученные соотношения имеют то же значение и для любого другого момента времени.

Поскольку поток простейший (без последействия), наличие события в начале интервала t не влияет на появление события в дальнейшем. Это важное свойство показательного закона.

Матрица переходов для простейшего потока и соответствующий граф

Матрица переходов   Е 0 Е 1 Е 2 Е 3 ... Е 0 1 – λdt λdt     ... Е 1   1 – λdt λdt   ... Е 2     1 – λdt λdt ... Е 3       1 – λdt ... .. ... ... ... ... ...

Кроме характеристик потока заявок, режим работы системы зависит еще и от характеристик производительности самой системы: числа каналов и быстродействия каждого канала (времени обслуживания одной заявки).

Время обслуживания одной заявки может быть величиной как случайной, так и детерминированной, меняться от заявки к заявке. В общем случае – случайная величина.

Пусть система массового обслуживания состоит из n каналов, способных одновременно обслуживать заявки. В любой момент времени канал находится в одном из двух состояний – свободен или занят.

В некоторый момент времени t в систему поступает заявка. Если в этот момент времени имеются свободные каналы, заявка принимается к обслуживанию. В противном случае, т.е. когда все каналы заняты, заявка остается в систем в течение некоторого времени (τ _пр – время пребывания заявки в системе). За этот интервал времени она должна быть принята к обслуживанию, в противном случае считается потерянной – получает отказ.

Система с отказами при τ _пр = 0, система с ожиданием τ _пр = ∞, система с ограниченным ожиданием при 0 < τ _пр < ∞.

Заявка, принятая к обслуживанию занимает один из каналов в системе в течение времени обслуживания τ _з (время занятости канала). По окончании этого времени канал может приступить к обслуживанию новой заявки.

Обычно величины τ _пр и τ _з считаются случайными величинами с заданными законами (или совместным законом) распределения. Одна из них или обе могут быть фиксированы.

Правила занятия каналов заявками и принятия заявок к обслуживанию в случае очереди: в порядке очереди, по минимальному времени получения отказа, в случайном порядке.

Чаще всего встречается показательный закон обслуживания.

Примеры. Совокупность операций в почтовом отделении. В одном окне – продажа марок (часто и мало времени на обслуживание), прием заказных писем (реже и больше времени на обслуживание) и прием переводов (еще реже и много времени на обслуживание).

Отыскание неисправностей в телевизоре – направленный перебор (метод проб и ошибок). Если пробы независимы, то поток простейший. Это случай, когда обслуживание сводится к последовательности попыток, каждая из которых может закончиться положительным результатом (обстрел цели).

Случайный процесс, протекающий в СМО, называетсямарковским (или процессам без последействия, или процессом без памяти), если вероятность любого состояния СМО в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от ее состояний в прошлом.

Чтобы случайный процесс был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы системы из состояния в состояние, были пуассоновскими. Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последействия (для любых двух непересекающихся промежутков времени, число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающий за другой) и ординарностью (вероятность наступления за элементарный - малый промежуток времени более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток времени одного события), называется пуассоновским.

В СМО потоками событий являются потоки заявок, потоки "обслуживании" заявок и т. д. Если СМО такова, что хотя бы один из ее потоков не является пуассоновским, то характеристики ее эффективности все же могут быть приближенно оценены с помощью марковской теории массового обслуживания. При этом, чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания — тем точнее оказываются приближенные формулы, полученные при предположении выполнимости в СМО марковских условий.

Под марковской СМО будем понимать систему, в которой все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние, пуассоновские. Если хотя бы один из потоков не является пуассоновским, то СМО будет называться немарковской.

Например, в системах со строго выполняющимся расписанием, с ленточным конвейером и им подобным поток входящих заявок является регулярным и, следовательно, не является пуассоновским.

В пуассоновском стационарном (простейшем потоке) случайная величина Т, представляющая собой промежуток времени между любыми двумя соседними событиями, распределена по показательному закону

¦(t)=le^-li, (1)

где l называется параметром этого закона распределения и представляет собой интенсивность простейшего потока (интенсивностью или средней плотностью потока называется среднее число событий в единицу времени).

Если вывод системы S из какого-то ее состояния s_i происходит под воздействием нескольких простейших потоков, то непрерывная случайная величина T, представляющая собой время пребывания системы (подряд) в данном состоянии s_i, также распределена по показательному закону, в котором l - суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему S из данного состояния s_i.

Классификация СМО

Модели СМО классифицируются по различным признакам.

По типу случайного процесса – марковский или немарковский.

По характеру источника заявок различают системы с конечным или бесконечным числом заявок. В случае конечного, обычно постоянного числа заявок, заявки после завершения обслуживания возвращаются в источник, где они пребывают в течение некоторого времени, затем вновь поступают в систему. Во втором случае источник генерирует бесконечное число заявок, и работа источника не зависит от работы обслуживающей системы. Системы с конечным числом заявок называются замкнутыми, с бесконечным – разомкнутыми.

По отсутствию или наличию возможности ожидания – системы с отказами (заявка, поступившая в момент, когда все обслуживающие приборы заняты, получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует) и системы с ожиданием (если все линии обслуживания заняты, заявка становится в очередь и ожидает, пока одна из линий не освободится).

Системы с ожиданием делятся на системы с неограниченным ожиданием (любая заявка рано или поздно будет обслужена) и системы с ограниченным ожиданием (накладываются ограничения на длину очереди, время пребывания в очереди, общее время пребывания в системе).

Для систем с отказами показателем качества системы обслуживания обычно считаются вероятность отказа, среднее число отказов за данный интервал времени и т.д. Для систем с ожиданием показателями качества обслуживания могут быть среднее время ожидания заявки, средняя длина очереди и т.д.

По числу линий обслуживания – одноканальные (одна линия) и многоканальные (несколько линий).

По правилу формирования очереди – с общей очередью (общий накопитель) и несколькими очередями (накопитель разделен на зоны).

Для общей очереди ограниченной длины возможны три основных алгоритма постановки заявок в очередь:

- "по кольцу" – последовательно в порядке поступления, при достижении ограничения запись продолжается с первой позиции,

- с поиском свободных мест – при отсутствии свободных мест заявка получает отказ,

- приоритетные правила – заявки неоднородны по значимости, при отсутствии свободного места в очереди, заявка поступает на место заявки с меньшим приоритетом.

По правилу обслуживания: бесприоритетное – "первым пришел – первым ушел", приоритетное - в соответствии с номером приоритета - "последним пришел – первым ушел", случайный отбор заявок.

По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные (когда имеется один канал) и многоканальные.

По дисциплине обслуживания СМО подразделяют на три класса:

СМО с отказами (нулевым ожиданием или явными потерями), в которых заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все каналы заняты, получает "отказ" и покидает СМО ("пропадает"). Чтобы эта заявка все же была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС: если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз (заявка поступает на вход как новая),

СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой работников).

СМО смешанного типа (ограниченным ожиданием). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.

Эти ограничения могут накладываться на длину очереди, т.е. максимально возможное число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди.

В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта.

Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди, по истечению которого она выходит из очереди и покидает систему, либо касаться общего времени пребывания заявки в СМО (т.е. суммарного времени пребывания заявки в очереди и под обслуживанием).

В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы обслуживания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным, когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным, при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом, когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь.

По ограничению потока заявок СМО делятся на замкнутые и открытые (разомкнутые).

Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращаться, то СМО является замкнутой, в противном случае — открытой. Классическим примером замкнутой СМО служит работа группы наладчиков в цеху. Станки являются источниками заявок на обслуживание, и их количество ограничено, наладчики — каналы обслуживания. После проведения ремонтных работ вышедший из строя станок снова становится источником заявок на обслуживание.

По количеству этапов обслуживания СМО делятся на однофазные и многофазные системы. Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслуживания, то такие СМО называются однофазными. Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания, то СМО называется многофазной (заявка обслуживается несколькими устройствами). Примером работы многофазной СМО может служить

Примеры: обслуживание покупателя в магазине однофазное и многофазное. Обслуживание автомобилей на станции техобслуживания (мойка, диагностирование и т.д.). Технологический процесс обработки детали (определенная очередность операций).

Оценка эффективности СМО

Каждая СМО в зависимости от своих параметров: характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, а также от правил организации работы обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

Необходимо оценить эффективность обслуживания потока заявок системой заданной структуры (количество линий обслуживания, производительность каждой линии).

Цель - выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО.

Для достижения этой цели устанавливаются зависимости эффективности функционирования СМО от ее организации (параметров): характера потока заявок, числа каналов и их производительности и правил работы СМО.

В качестве критерия эффективности системы обслуживания могут быть использованы различные величины и функции, например, вероятность обслуживания каждой из поступающих заявок, средняя доля обслуженных заявок, среднее время ожидания обслуживания, среднее время простоя каждого из каналов и системы в целом, пропускная способность системы и т.д. Численное значение каждого из этих требований в той или иной степени характеризует эффективность системы по удовлетворению потока поступающих требований – пропускную способность системы. Пропускная способность зависит не только от параметров системы, но и от характера потока заявок.

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:

Показатели эффективности использования СМО:

- пропускная способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших заявок за это же время;

- средняя продолжительность периода занятости СМО;

- коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

Показатели качества обслуживания заявок:

- среднее время ожидания заявки в очереди;

- среднее время пребывания заявки в СМО;

- вероятность отказа заявке в обслуживании безожидания;

- вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию;

- среднее число заявок, находящихся в очереди;

- среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

Аналитические и статистические модели

Известны аналитические соотношения теории массового обслуживания, связывающие характеристики потока заявок и параметры системы с показателями качества обслуживания для простейшего (пуассоновского) потока, к которому могут быть сведены многие практические задачи.

Разработанные аналитические методы обычно относятся к моментам времени, достаточно удаленным от начала процесса – когда уже наступил стационарный режим.

Обобщение математической модели массового обслуживания идет по следующим направлениям.

Рассматривался однородный поток заявок, но на практике более распространены задачи, требующие учета имеющейся неоднородности заявок в потоке. Особенно это существенно тогда, когда параметры процесса обслуживания (например, его длительность, качество и др.) зависят не только от времени поступления заявки, но и от ее характеристик.

Примеры. При обработке детали на станке время обработки зависит от ее сложности, размеров, характеристик материала и т.п. При обработке потока самолетов в аэропорт помимо времени прибытия учитывается тип самолета, скорость, высота, курс, длина пробега и т.п.

В случае неоднородных заявок (для их описания необходимо привлекать другие параметры, кроме момента поступления в систему) применяется обобщенное понятие потока: каждая j-ая заявка характеризуется моментом поступления t _j и n параметрами а ₁, а ₂,..., а _n.

Другими словами, каждая заявка представляет собой (n + 1)-мерный вектор вида v _j = v (t_j, α_1j, α_2j,..., α_nj) в пространстве параметров t, α₁, α₂,..., α_n.

Часто приходится учитывать случайные отклонения от нормы не только моментов поступления, но и случайный характер параметров заявок (размеров, температуры, скорости, твердости, координат и др.). Поэтому в общем случае заявки описываются случайными векторами, и мы приходим к необходимости рассматривать случайные потоки векторов.

В рассмотренных системах параметры системы обслуживания предполагались независимыми от потока заявок.

При неоднородном потоке заявок параметры системы обслуживания (число каналов, характеристики закона распределения времен занятости канала, например, среднее время обслуживания) реально могут зависеть от характеристик потока заявок. Если считать поток заявок потоком случайных векторов, то параметры системы обслуживания могут быть функциями t_j и величин α_1j, α_2j,..., α_nj Например, длительность обработки детали может определяться ее размерами, твердостью материала, температурой и др.

Аналитические математические модели могут быть построены для каждого типа системы с простейшим потоком заявок (с ожиданием, без ожидания и др.).

Аналитические методы анализа систем массового обслуживания пригодны для получения качественных характеристик и практически могут использоваться для сравнительно простых случаев.

Реальные входные потоки по своим свойствам далеко не всегда соответствуют простейшему потоку, время обслуживания часто распределяется не по показательному закону, дисциплина обслуживания может быть достаточно сложной.

На практике приходится сталкиваться с многофазными системами. Системы массового обслуживания, составляющие различные фазы обслуживания, могут быть неодинаковыми, и характер операций, обслуживания на различных фазах, может быть различным. На последующих фазах могут появиться заявки, которые не поступали на предыдущие фазы, может оказаться, что обслуживание, относящееся к последующей фазе, начинается еще до окончания обслуживания еще на предыдущей фазе и т.д.

Порядок использования свободных линий (каналов) и порядок выбора заявок из очереди может не устанавливаться заранее, и в процессе обслуживания заявок изменяться и не зависеть от характеристик потока заявок.

В реальных процессах, которые могут быть представлены как системы массового обслуживания (например, в процессах с управлением), может содержаться элемент, способный определять оптимальный порядок обслуживания.

Для математического описания процессов с управлением удобно использовать такие системы массового обслуживания, которые снабжены специальным алгоритмом, позволяющим по известным данным о заявках и состояниях обслуживающих средств определить порядок обслуживания, и, возможно, целесообразное изменение структуры самой системы. Пример такой системы массового обслуживания – моделирование дискретных производственных процессов.

Для анализа стохастических систем, когда аналитическое описание процесса получить затруднительно, используется метод статистического моделирования (имитационного моделирования).

Вместо того, чтобы описывать случайное явление аналитически, производится его моделирование с помощью некоторой процедуры, дающей случайный результат. С помощью специальных моделирующих алгоритмов формируются реализации потока заявок с заданным законом распределения интервалов между заявками. Здесь самое главное – определить вид закона распределения.

8.2 Модели производственных процессов

Производственный комплекс для поточного выпуска штучных изделий (автомобилей, самолетов, труб, часов и т.д.) формализуется как дискретный производственный процесс. К производственным комплексам дискретного типа можно отнести крупные морские, и авиационные порты, железнодорожные станции с оборудованием погрузки-разгрузки, технического обслуживания и др.

Производственный комплекс состоит из большого количества станков, обеспечивающих выполнение технологических операций (обработка деталей, сборка узлов, агрегатов, изделий). Технологические операции объединяются в технологические линии. Работа станков, операций, линий характеризуется частичной или полной синхронизацией и взаимозависимостью режимов выполнения операций. Средства управления производственным процессом (датчики, линии передачи данных, вычислительные устройства) собирают, обрабатывают информацию и вырабатывают управляющие команды.

Под процессом понимается последовательность действий (операций), направленных на получение определенных свойств системы или на достижение определенного ее состояния. Выделим производственные процессы – всю совокупность основных технологических процессов (изготовление, сборка, испытание) и сопутствующих процессов (планирование, организация, транспортировка, хранение), осуществляемых с целью превращения материалов и полуфабрикатов в готовые изделия.

Производственный процесс является примером сложной системы со всеми присущими ей свойствами. При проектировании на системном уровне таких сложных систем как транспортные системы, вычислительные системы и сети, производственные и технологические процессы, производственные предприятия, автоматизированные системы проектирования и управления требуется выбор оптимального (рационального) процесса их функционирования.

Технологические процессы как часть производственного процесса содержат действия по изменению и последующему определению состояния предмета производства. Технологические процессы строятся по отдельным способам выполнения процесса (технологические процессы механической обработки, термической обработки, обработки давлением, сварки, пайки, литья и т.д.) и по объектам производства (технологический процесс изготовления отдельных подсистем - кузова, двигателя, сборки объекта в целом).

Производственная (технологическая) операция – законченная часть технологического процесса, выполняемая на данном рабочем месте. Результатом любой технологической операции является превращение одного объекта (или совокупности объектов) с определенными свойствами в другой объект с иными свойствами. Технологическая операция является основной единицей планирования производства, учета производительности, управления и контроля технологического процесса.

Проектирование технологического процесса предполагает определение такой последовательности технологических операций (управление), которая позволит получить конечный продукт с наибольшей эффективностью (например, при минимальных экономических затратах).

Поскольку технологические операции реализуются на основании фундаментальных законов механики, физики, химии и др., то может быть создана математическая модель процесса. Переход системы из одного состояния в другое может представлять собой, например, химическое превращение одной совокупности веществ в другую, управляющими переменными могут быть температура, давление, продолжительность реакции и т.д.

В общем виде математическая модель любой технологической операции характеризуется начальным и конечным состояниями, управлениями, оператором перехода из начального состояния в конечное. В оператор перехода могут быть также включены экономические показатели.

Большинство технологических операций можно выполнить с использованием разных методов обработки и оборудования. Выбор рационального варианта осуществляется на основе технико-экономического анализа возможных в данных производственных условиях вариантов.

При проектировании производственных процессов в системе исследуются такие параметры, как производительность (пропускная способность) проектируемой системы, продолжительность обслуживания в системе, эффективность используемого оборудования. Входные величины при исследованиях чаще всего являются случайными, и анализ их функционирования на системном уровне носит статистический характер. Основой анализа и оптимизации различных производственных процессов является имитационное моделирование. В первом приближении – при исследовании на качественном уровне - исследуемые системы могут формализоваться как системы массового обслуживания.

Дискретный производственный процесс

При моделировании дискретного производственного процесса он расчленяется на отдельные акты – производственные операции.

Большинство дискретных производственных процессов могут быть описаны как системы массового обслуживания и исследованы методами имитационного моделирования по принципу особых состояний («по ∆ z»).

Для систем массового обслуживания особые состояния появляются в моменты поступления новых заявок или в моменты окончания обслуживания и освобождения каналов (количество свободных каналов или заявок в очереди меняется скачком).

Свойства таких систем оцениваются по информации об особых состояниях, неособые состояния для оценки свойств систем интереса не представляют.

В соответствии с принципом особых состояний определяется момент Т_i наступления очередного события i -ого процесса, и, если таких событий будет r, то выбирается наиболее ранний момент наступления особого состояния в соответствии с операцией

Т _n = min T_i,

где n – номер процесса, в котором наступило ближайшее событие.

Моменты T_i, в отличие от реального времени, называются моментами системного времени.

Различают две стороны моделирования – процесс производственной операции (обработки, сборки) как процесс переработки информации о полуфабрикатах и процесс функционирования сборочного оборудования (учитывает синхронизацию операций и влияние возмущающих факторов).

В основе моделирования лежит учет различных возмущающих факторов: нарушение режима синхронизации (очереди полуфабрикатов, простои станков и т.д.), выход из строя элементов оборудования и их ремонт, периодическая наладка оборудования.

Моделирование нарушения синхронизации может быть учтено при имитации очереди заявок и порядка выбора свободных каналов для обслуживания пришедшей заявки.

Моделирование выхода из строя оборудования и его ремонта (система массового обслуживания с ненадежными элементами): реализация жребия с вероятностью сбоя оборудования, формирование возможных значений самих моментов сбоя и сравнение их с узловыми моментами производственного процесса (начало процесса, ожидание, конец процесса и др.) -результаты сравнения интерпретируются как всевозможные следствия выхода из строя оборудования.

При моделировании периодической наладки моменты остановки производственного процесса для наладки могут быть заранее известны (постоянство интервала наладки), либо определяться в процессе производства как функции суммарного времени работы оборудования, или в зависимости от поведения характеристик обработанных полуфабрикатов: увеличения процента брака, увеличения разброса параметров изделий или длительности операции τ^оп. Моделирование комплексного процесса обработки, сборки и управления при поточном производстве

Пусть процесс поточного производства штучных изделий складывается из операций обработки, сборки и управления.

Линия сборки (совокупность устройств, обеспечивающих сборку изделия) состоит из l устройств. Каждое устройство выполняет только одну сборочную операцию.

На сборку поступают ведущий полуфабрикат (основа сборного узла) и присоединяемые к узлу ведомые полуфабрикаты (детали) с номерами 1, 2,.... 1.

Будем предполагать, что режим перемещения сборного узла от места выполнения одной операции к месту выполнения последующей операции является жестким (конвейер). Тогда t_ij^н – момент начала i -й сборочной операции над j -м узлом. Очевидно, что момент t_ij доставки j -го узла к месту выполнения i -й сборочной операции удовлетворяет условию t_ij ≤ t_ij^н.

t_1j - момент подачи j -го узла к месту выполнения первой сборочной операции одновременно является моментом подачи (j -1)-го узла к месту выполнения второй операции, а (j - 2)-го узла - к месту выполнения третьей операции и т. д. Поэтому

t_ij = t_{i+1, j-1} = t_{i+2, j-2} = t_{i+к, j-к}, если i < l, j – k > 0.

В момент времени t_ij^н начинается проверка качества очередной детали i -гo типа, которая длится τ_ij^пр. С вероятностью р^бр* деталь может оказаться бракованной. В этом случае она исключается из процесса и выбирается новая деталь. Продолжительность сборки τ_ij^сб. Если к моменту t_ij^* данная сборочная операция не закончена, то происходит срыв операции сборки.

Каждой из l сборочных операций соответствует линия, обеспечивающая обработку деталей (изготовление детали, ее наладку, доставку со склада и т. д.). Для простоты будем считать, что на каждой линии выполняется только одна операция обработки. Формализованная схема операции обработки рассмотрена ранее.

Процесс функционирования соответствующего станка (преобразование параметров полуфабриката) сопровождается основными возмущающими факторами: занятостью станка и возникновением очереди полуфабрикатов, возможными отказами ненадежных элементов оборудования, возможностью появления брака, постепенным износом оборудования и т. д.

Формализованная схема комплексной операции.

Полуфабрикат с номером k (заготовка i -го типа) поступает к линии обработки в момент времени t_iк^п. Если соответствующий станок свободен, то начинается обработка полуфабриката. Если станок занят, то полуфабрикат ждет момента освобождения станка.

Поскольку время ожидания предполагается неограниченным, возникает очередь полуфабрикатов, но не более чем из т = т* штук в очереди, иначе подача полуфабрикатов временно прекращается. Возобновление подачи полуфабрикатов производится по признаку т < т**. Операция обработки длится τ_iк^обр, причем, τ_iк^обр – случайная величина с заданным законом распределения.

Допускаются сбои (отказы) оборудования двух типов (кратковременный с заменой отказавшей детали и длительный, при котором наряду с устранением неисправности в каком-то конкретном блоке, попутно производится наладка многих других блоков и элементов).

Продолжительности ремонта равны τ₁^р и τ₂^р соответственно, время доработки полуфабриката равно τ^д а время наладки станка есть τ^н. В результате обработки может быть получен брак с вероятностью p^бр. В этом случае требуется подналадка станка длительностью τ₃^р.

Прекращение моделирования производственного процесса производится в случаях, когда очередной ведущий полуфабрикат поступает на сборку позднее момента времени Т или когда момент начала операции обработки t_iк^н ≥ Т.

Комбинация операций обработки со сборкой изделия (а также с простейшими операциями управления) и дает тот абстрактный процесс поточного производства штучных изделий.

Особенности, характерные для конкретных процессов.

В производственном комплексе каждая линия обработки может состоять не из одного станка - количество станков в каждой линии обработки может быть произвольным. Это обстоятельство приводит к необходимости установления в моделирующем алгоритме счетчика количества операций и логического оператора, проверяющего условие, что количество станков в одной линии обработки не больше заданного.

На том же принципе может быть построен моделирующий алгоритм для многоступенчатой сборки, когда изделие собирается из отдельных узлов, а каждый узел собирается из более мелких узлов и блоков и т.д., наконец, имеются узлы и блоки, которые собираются из отдельных деталей.

На первой ступени из отдельных деталей собираются узлы, а на второй ступени из узлов собираются изделия. Затем получаемые узлы представляются как отдельные детали, и полученный алгоритм приспосабливается для моделирования сборки изделия из отдельных узлов. Объединение таких алгоритмов и будет представлять собой моделирующий алгоритм для двухступенчатой сборки.

Аналогичным образом могут быть учтены и такие особенности производственного комплекса, как наличие параллельно работающих линий сборки или обработки – используются рассмотренные ранее моделирующие алгоритмы для каждой из параллельных линий, а для построения сводного алгоритма целесообразно воспользоваться приемами моделирования многоканальных или обобщенных систем массового обслуживания.

Типичные прикладные задачи, которые решаются методом имитационного моделирования: определение оптимальных заделов деталей и полуфабрикатов, оценка оптимальных объемов карманов и местных складов, определение узких мест, ограничивающих производительность оборудования, и другие.

Основные блоки моделирующего алгоритма:

- моделирование собственно операции с учетом различных типов сбоев станка и соответствующего времени наладки и ремонта (с учетом случайных значений величин);

- обеспечение связи и синхронизации операции с другими актами производственного процесса (подача полуфабрикатов, регулирование операции и т.д.), а также управление самим процессом моделирования (фиксация и обработка результатов, переход к очередному полуфабрикату и т.д.). Эта часть алгоритма моделирует некоторую систему массового обслуживания.

Алгоритм управления операцией включается в общий моделирующий алгоритм в виде подалгоритма, учитывающего, при необходимости, надежность функционирования управляющих устройств.

Моделирующий алгоритм состоит из двух частей:

- моделирование собственно операции с учетом различных типов сбоев станка и соответствующего времени наладки и ремонта (с учетом случайных значений величин);

- обеспечение связи и синхронизации операции с другими актами производственного процесса (подача полуфабрикатов, регулирование операции и т.д.), а также управление самим процессом моделирования (фиксация и обработка результатов, переход к очередному полуфабрикату и т.д.). Эта часть алгоритма моделирует некоторую систему массового обслуживания.

Алгоритм управления операцией включается в общий моделирующий алгоритм в виде подалгоритма, учитывающего, при необходимости, надежность функционирования управляющих устройств.

Непрерывный производственный процесс

В непрерывных производственных процессах фигурируют компоненты сырья или исходных продуктов, которые в твердом, жидком или газообразном состоянии непрерывным потоком поступают к технологическим установкам; аналогичный вид имеют компоненты готовой продукции, выходящие из соответствующих технологических установок.

Кроме того, непрерывные производственные процессы, строго говоря, не могут быть расчленены на отдельные производственные операции, а должны рассматриваться как постоянно действующие преобразования компонентов сырья в компоненты готовой продукции (в химической, целлюлозно-бумажной, пищевой и других областях промышленности).

Если при моделировании дискретных производственных процессов преобладал принцип моделирования «по особым состояниям», характерный для систем массового обслуживания, то в случае непрерывных производственных процессов ведущее значение принадлежит принципу «по ∆ t».

Основной идеей построения моделирующего алгоритма для непрерывных производственных процессов является последовательный переход от одного состояния процесса к следующему за ним через интервал времени ∆ t. Сведения о состояниях процесса в различные моменты времени фиксируются и используются затем для оценки искомых величин.

Для дискретных производственных процессов характерны две особенности:

- оперирование над отдельными деталями, полуфабрикатами, узлами и т.д., из которых в конце концов собирается изделие,

- возможность расчленения производственного процесса на отдельные элементарные акты, называемые операциями.

В непрерывных производственных процессах фигурируют компоненты сырья или исходных продуктов, которые в твердом, жидком или газообразном состоянии непрерывным потоком поступают к технологическим установкам; аналогичный вид имеют компоненты готовой продукции, выходящие из соответствующих технологических установок.

Непрерывные производственные процессы, строго говоря, не могут быть расчленены на отдельные производственные операции, а должны рассматриваться как постоянно действующие преобразования компонентов сырья в компоненты готовой продукции (в химической, целлюлозно-бумажной, пищевой и других областях промышленности).

Особенности моделирования непрерывных производственных процессов

Если при моделировании дискретных производственных процессов преобладал принцип моделирования «по особым состояниям», характерный для систем массового обслуживания, то в случае непрерывных производственных процессов ведущее значение принадлежит принципу «по ∆ t».

Основной идеей построения моделирующего алгоритма для непрерывных производственных процессов является последовательный переход от одного состояния процесса к следующему за ним через интервал времени ∆ t. Сведения о состояниях процесса в различные моменты времени фиксируются и используются затем для оценки искомых величин.

Агрегатное представление производственного процесса

Большинство дискретных производственных процессов могут быть описаны как системы массового обслуживания и исследованы методами имитационного моделирования. Применение вместо совокупности абстрактных (формализованных) операций обработки, сборки и управления математического описания их в качестве агрегатов или агрегативных систем нерационально.

Существуют задачи, для решения которых модели дискретных производственных процессов недостаточны, и весьма удобными схемами могли бы служить формальные схемы агрегатов и агрегативных систем.

Например, при моделировании и исследовании производственного процесса, имеющего дискретную часть, непрерывную часть и информационную систему управления. Для комплексного исследования такого производственного процесса в целом могут оказаться полезными математические схемы и методы моделирования агрегативных систем, так как не только дискретные производственные процессы, но и непрерывные, а также информ