Модель консервативной системы

Рассеяние (диссипация) энергии происходит в связи с наличием того или иного вида трения (механическая энергия с течением времени уменьшается за счет преобразования в другие виды энергии, например, в теплоту). В некоторых случаях рассеяние может быть настолько медленным, что им можно пренебречь при исследовании поведения системы для непродолжительного промежутка времени. Системы такого типа называются консервативными.

Механическая энергия консервативной системы (отсутствие рассеяния энергии) сохраняется неизменной в процессе движения системы: имеет место закон сохранения механической энергии - сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна в процессе движения системы. Закон справедлив для любой замкнутой системы тел, силы взаимодействия между которыми потенциальны. Если эти силы непотенциальны (например, есть силы трения), то механическая энергия замкнутой системы уменьшается.

Простейший пример консервативной системы: тело совершает горизонтальные движения в вакууме под действием двух пружин.

Если х обозначает смещение тела массой m из состояния равновесия, а сила, с которой пружины действуют на тело (восстанавливающая сила), пропорциональна смещению х, то уравнение движения имеет вид md ² x / dt ² + сx = 0, c > 0.

Восстанавливающая сила является линейной функцией х.

Если тело движется в среде с сопротивлением и сопротивление (демпфирующая сила), действующее на тело, пропорционально скорости движения, то уравнение движения такой неконсервативной системы имеет вид md ² x / dt ² + c dx / dt + kx = 0.

Здесь демпфирующая сила – линейная функция скорости dx / dt (линейное затухание).

Если f и g являются такими произвольными функциями, что f (0) = 0, g (0) = 0, то более общее уравнение md ² x / dt ² + g dx / dt + f (x) = 0 является уравнением движения тела массой под действием восстанавливающей и демпфирующей сил.

В общем случае эти силы нелинейны – уравнение рассматривается как основное уравнение нелинейной механики.