Рівняння поверхні та лінії в просторі

Рівнянням поверхні в заданій системі координат називається таке рівняння з трьома змінними, якому задовольняють координати довільної точки поверхні і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній.

Координати , і довільної точки, що входять в рівняння поверхні, називаються поточними координатами.

Приклад 7.3. Скласти рівняння сфери радіуса з центром в початку координат.

Розв’язок. Як відомо, сфера – це множина точок простору, рівновіддалених від даної точки, яку називають центром. Візьмемо на сфері довільну точку . Відстань від цієї точки до центра кола рівна , тобто або . Отриманому рівнянню задовольняють координати довільної точки сфери і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній, так як для точок, що лежать всередині сфери, , а для точок, що лежать зовні – . t

Приклад 7.4. Скласти рівняння координатної площини .

Розв’язок. Рівнянню задовольняють координати довільної точки площини і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній. t

Лінія в просторі задається як лінія перетину двох поверхонь.

Нехай дано рівняння поверхонь , , які перетинають по лінії .

Систему рівнянь

якій задовольняють координати довільної точки лінії і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній, називають рівняннями лінії в просторі.

Приклад 7.5. В системі координат скласти рівняння кола, що лежить в площині , радіуса з центром в початку координат.

Розв’язок. Дане коло можна розглядати як лінію перетину площини і сфери радіуса з центром в початку координат:

t

Теоретичні питання

7.1. Що називається рівнянням лінії на площині?

7.2. Що називається рівнянням поверхні?

7.3. Що називається рівняннями лінії в просторі?

Задачі та вправи

7.1. Скласти рівняння множини точок площини, рівновіддалених від точок і .

7.2. Вияснити, які з точок , , лежать на колі .

7.3. Лінії задані рівняннями: а) ; б) ;

в) ; г) .

Вияснити, які з них проходять через початок координат.

7.4. Скласти рівняння сфери радіуса з центром в точці .

7.5. Скласти рівняння сфери з центром в точці , що проходить через точку .