Декартова прямокутна система координат

Нехай в просторі дано точку О і ортонормований базис, який позначатимемо .

Сукупність точки О і ортонормованого базису називається декартовою прямокутною системою координат в просторі. Точку О називають початком координат. Вісь, що проходить через точку О і має напрямок вектора , називається віссю або віссю абсцис; вісь, що проходить через точку О і має напрямок вектора – віссю або віссю ординат; вісь, що проходить через точку О і має напрямок вектора – віссю або віссю аплікат. Осі , , називають осями координат. Площини, що проходять через дві осі координат, називають координатними площинами.

Декартову прямокутну систему координат позначають або .

Радіус-вектором точки М назвемо вектор (рис. 5.7). Нехай , де – координати вектора в базисі , тобто його проекції на відповідні координатні осі, їх називають координатами точки М в системі і записують . Координата називається абсцисою, – ординатою, – аплікатою.

Таким чином, кожній точці М в заданій декартовій прямокутній системі координат в просторі відповідає єдина впорядкована трійка чисел, і навпаки, кожній впорядкованій трійці чисел в заданій декартовій прямокутній системі координат в просторі відповідає єдина точка.

Знайдемо координати вектора , якщо відомі координати точок , . Маємо (рис. 5.8):

.

Отже, координати вектора рівні різницям відповідних координат його кінця і початку.

Три некомпланарних вектори , , , взятих у вказаному порядку, утворюють праву орієнтацію або праву трійку, якщо з кінця поворот від до по найкоротшому шляху видно проти ходу стрілки годинника (рис. 5.9). В протилежному випадку трійка векторів утворює ліву трійку.

Якщо вектори утворюють праву (ліву) трійку, то, помінявши місцями довільні два вектори, отримаємо ліву (праву) трійку.

Система координат називається правою, якщо її базисні вектори утворюють праву трійку і лівою, якщо – ліву.

Аналогічно визначається декартова прямокутна система координат на площині.