Лінійні операції над векторами в координатній формі

Нехай заданий базис і вектори (, , ), або, що те ж саме, , .

Сума векторів. Запишемо суму векторів

або, згідно властивостям лінійних операцій над векторами,

. (5.3)

Таким чином, при додаванні векторів їх відповідні координати додаються.

Добуток вектора на число. Помножимо вектор на число :

або

. (5.4)

Тобто при множенні вектора на число координати вектора множаться на це число.

Приклад 5.1. В базисі дано вектори , . Знайти вектор .

Розв’язок. Згідно формулам (5.3), (5.4)

.

Відповідь: t

Рівність векторів. З означення вектора як направленого відрізка, який можна переміщати в просторі паралельно самому собі, випливає, що два вектори і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх координати:

Колінеарність векторів. Вияснимо умови колінеарності векторів і ,заданих своїми координатами.

Так як , то за властивостями добутку вектора на число можна записати , де – деяке число, тобто

.

Звідси , , , тобто , , або

. (5.5)

Таким чином, координати колінеарних векторів пропорційні. Справедливе і обернене твердження: вектори, що мають пропорційні координати, колінеарні.

Зауваження. Співвідношення (5.5) умовно записуватимемо і у випадку, коли серед чисел , , є рівні нулю.

Нехай на площині заданий базис і вектори , . В цьому випадку мають місце формули, аналогічні формулам (5.3) – (5.5).

Приклад 5.2. Перевірити, чи колінеарні вектори і , задані в базисі :

а) , ; б) , .

Розв’язок. Згідно формули (5.5):

а) , а отже .

б) .

Так як друга координата в обох векторів рівна нулю, то їх можна розглядати як вектори, задані на площині в базисі , а отже і . t

Приклад 5.3. В базисі дано вектори , . Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в базисі .

Розв’язок. Якщо два вектори утворюють базис, то вони неколінеарні. Згідно формули (5.5):

,

а отже вектори неколінеарні і утворюють базис.

В новому базисі вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації

,

де коефіцієнти , – невідомі і є координатами вектора в базисі .

Знайдемо ці координати. Для цього розпишемо розклад вектора в координатній формі:

,

що рівносильно системі двох лінійних рівнянь з двома невідомими

Розв’яжемо цю систему за формулами Крамера:

; .

Обчислимо визначники:

;

;

.

Отримаємо ; .

Відповідь: . t

Приклад 5.4. В базисі дано вектори , , . Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в базисі .

Розв’язок. Якщо три вектори утворюють базис, то жоден з них не є лінійною комбінацією двох інших. Тоді визначник, складений з координат цих векторів, відмінний від нуля, так як лінійні операції над векторами зводяться до відповідних лінійних операцій над їх координатами. Обчислимо цей визначник:

.

Отже, вектори утворюють базис.

В новому базисі вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації

,

де коефіцієнти – невідомі і є координатами вектора в базисі .

Знайдемо ці координати. Для цього розпишемо розклад вектора в координатній формі:

,

що рівносильно системі трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Розв’яжемо цю систему за формулами Крамера:

; ; .

Очевидно, що визначник як визначник транспонованої матриці:

.

Обчислимо

Отримаємо ; ;

Відповідь: . t